Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
До полярних координат можна застосувати елементи векторного аналізу. Будь-яке векторне поле
можна записати в полярній системі координат, використовуючи одиничні вектори
![{\displaystyle \mathbf {e} _{r}=(\cos \varphi ,\sin \varphi )\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8070531930e65891d30f88e07e6e965bba3ae1fa)
у напрямку
, і
:
.
Зв'язок між декартовими компонентами поля
та
і його компонентами в полярній системі координат задається рівняннями:
![{\displaystyle F_{x}=F_{r}\cos \varphi -F_{\varphi }\sin \varphi \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be0062157981e54bf537def17ecd59a4e55ca8b5)
![{\displaystyle F_{y}=F_{r}\sin \varphi +F_{\varphi }\cos \varphi \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a69835de7456d6717cb073eef7ade6a3655d16)
Оскільки полярні координати утворюють косокутний базис, то стандартні поняття векторного аналізу (градієнт, дивергенція, ротор та ін.) будуть мати коефіцієнти Ламе, відмінні від одиниці. Знайдемо їх.
За означенням, коефіцієнти Ламе рівні:
![{\displaystyle H_{i}={\sqrt {\left({\frac {\partial x}{\partial q_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial y}{\partial q_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial z}{\partial q_{i}}}\right)^{2}}};\ i=1,\;2,\;3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a11eba0e13eb06cd951850768349986bbf64b7)
Для нашого випадку:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=r\cos {\varphi };\\y=r\sin {\varphi };\\q_{i}=(r,\varphi ).\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7c7ebbf5a8323664581307a6023b4d6e26d67ff)
Отже, отримаємо такі значення коефіцієнтів:
![{\displaystyle H_{r}={\sqrt {\left({\frac {\partial x}{\partial r}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial y}{\partial r}}\right)^{2}}}={\sqrt {\sin ^{2}\varphi +\cos ^{2}\varphi }}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/256303b2f677c5d1d975cdbf42739d9b593ae1da)
![{\displaystyle H_{\varphi }={\sqrt {\left({\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\right)^{2}+\left({\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\right)^{2}}}={\sqrt {r^{2}\sin ^{2}\varphi +r^{2}\cos ^{2}\varphi }}=r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba907222bfabefcf7b0518d5cd45d657ce1b4631)
Отже, тепер для скалярного поля
та вектороного
маємо співвідношення:
![{\displaystyle \operatorname {grad} \Phi ={\frac {1}{H_{r}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{H_{\varphi }}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }={\frac {\partial \Phi }{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e86d1682f730600b61fa4b2a93592ae2a95ab088)
![{\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {A} =\operatorname {div} (rA_{r}+\mathbf {\varphi } A_{\varphi })={\frac {1}{H_{r}H_{\varphi }}}\left[{\frac {\partial }{\partial r}}(A_{r}H_{\varphi })+{\frac {\partial }{\partial \varphi }}(A_{\varphi }H_{r})\right]={\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial }{\partial r}}(rA_{r})+{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba3b3db7b5a9d72681e1619373138e8351e9a79)
![{\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {A} =0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1641fb9b8b271e60d6e9219c33e9a1dc1637b78)