Векторне поле

Векторне поле утворене векторами (−y, x).

Ве́кторне по́ле — векторнозначна функція, відображення, яке кожній точці даного простору ставить у відповідність вектор. У сучасній диференціальній геометрії розглядається також узагальнення на довільні многовиди (див. векторне розшарування).

Коли початковий простір — евклідовий (скінченновимірний векторний простір зі скалярним добутком), поняття векторного поля стає наочним, і тоді векторне поле інтерпретується як спосіб завдання рухів деякої динамічної системи: вектор у даній точці описує напрям і швидкість руху точки по фазовій кривій.

Якщо вибрати декартову систему координат, то поле може бути подане як:

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=\{F_{x}(x,\ y,\ z),\ F_{y}(x,\ y,\ z),\ F_{z}(x,\ y,\ z)\}$

Математичні операції над векторними полями вивчають у векторному аналізі.

Серед характеристик векторного поля $\mathbf {F}$ відрізняють диференційні, що стосуються поведінки поля в окремих точках (дивергенція $\operatorname {div} \mathbf {F}$ і ротор $\operatorname {rot} \mathbf {F}$), та інтегральні, що описують поле вздовж контуру (циркуляція) або крізь певну поверхню (потік).

Диференційні й інтегральні характеристики векторного поля пов'язані між собою теоремами Гауса — Остроградського та Стокса.

Для поля механічного походження, дивергенція й потік характеризують наявність джерел і стоків у полі, а ротор і циркуляція — обертальну здатність поля.

Чимало фізичних явищ описують за допомогою векторних полів. Наведемо такі приклади:

• Електричне поле;
• Магнітне поле;
• Поле швидкостей потоку рідини чи газу в гідродинаміці.

Див. також

• Силова лінія,
• Похідна Лі,
• Скалярне поле,
• Тензорне поле.

Джерела інформації

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1966. — Т. 3. — 656 с.(рос.)