Користувач:Nadiia1234/Чернетка

Парні та непарні функції

The sine function and all of its Taylor polynomials are odd functions. This image shows $\sin(x)$ and its Taylor approximations, polynomials of degree 1, 3, 5, 7, 9, 11 and 13.[https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Even_and_odd_functions&action=submit

]

The cosine function and all of its Taylor polynomials are even functions. This image shows $\cos(x)$ and its Taylor approximation of degree 4.[https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Even_and_odd_functions&action=submit

]

В математиці , парні функції і непарні функції є функціями, які задовольняють певні відношення симетрії . Вони важливі в багатьох областях математичного аналізу, особливо в теорії степеневих рядів і рядів Фур'є . Вони названі на честь парності степенів степеневих функцій, які задовольняють кожну умову: функція $f(x)=x^{n}$ є парною, якщо n — парне ціле число, і непарною, якщо n — ціле непарне число.

Парні функції

Приклад парної функції: f(x) = x²

Функція $f:\mathrm {X} \subset R\rightarrow R$ називається парною, якщо для будь-якого х$x$ з області визначення функції виконується рівність$f(-x)=f(x)$ .

Графік парної функції дзеркально-симетричний відносно осі ординат.

Приклади парних функцій:

• $y=|x|$
• $y=x^{2}$
• $y=cosx$

Алгоритм дослідження функції на парність:

Алгоритм дослідження функції $y=f(x)$  на парність:

• Знайти для функції $y=f(x)$ область визначення функції ($D(y)$) та встановити чи симетрична $D(y)$ відносно нуля.
• Якщо область визначення функції ($D(y)$) симетрична відносно нуля, тоді:
  • скласти вираз $f(-x)$ ;
  • порівняти $f(-x)$ та$f(x)$ , якщо функція $f(x)=f(-x)$ для будь-якого значення $x$ з області визначення функції ($D(y)$), то функція $y=f(x)$ — парна.

Приклад:

Дослідити на парність функцію $y=4x^{6}-3x^{4}+5$

Розв'язання: $f(-x)=4(-x)^{6}-3(-x)^{4}+5=4(x)^{6}-3(x)^{4}+5=f(x)$, отже функція парна.

Непарні функції

Приклад непарної функції: f(x) = x³.

Функція $f:\mathrm {X} \subset R\rightarrow R$ називається непарною, якщо для будь-якого $x$ з області визначення функції виконується рівність$f(-x)=-f(x)$ .

Графік непарної функції центрально-симетричний відносно початку координат.

Приклади непарних функцій:

• $y=-x$
• $y=x^{3}$
• $y=sinx$

Алгоритм дослідження функції на непарність:

Алгоритм дослідження функції $y=f(x)$ на непарність:

• Скласти вираз $f(-x)$, для цього у функції $y=f(x)$ замінити аргумент $x$ на $-x$;
• Порівняти $f(-x)$ і $-f(x)$, якщо $f(-x)=-f(x)$, то функція — непарна.

Приклад:

З'ясувати, чи функція $f(x)=3x^{5}-8x^{3}$ парна, непарна, загального виду.

$f(-x)=3(-x)^{5}-8(-x)^{3}=-3x^{5}+8x^{3}=-(3x^{5}-8x^{3})=-f(x)$, тобто функція непарна.

Основні властивості

Унікальність

• Якщо функція є як парною, так і непарною, вона дорівнює 0 скрізь, де вона визначена.
• Якщо функція непарна, абсолютне значення цієї функції є парною функцією.

Додавання і віднімання

• Сума двох парних функцій парна, сума двох непарних функцій непарна.
• Різниця двох непарних функцій є непарною, різниця двох непарних функцій є парною.
• Сума парної і непарної функцій є ні парною, ні непарною, якщо одна з функцій не дорівнює нулю в заданій області визначення .