Су́ма (лат. summa) — результат операції додавання.
Наприклад, у виразі
- 4 + 5 = 9
9 є сумою, а числа 4 і 5 називаються доданками.
Сума позначається знаком + (плюс).
Для позначення суми членів послідовності використовується символ
(велика грецька літера сигма), наприклад
.
Якщо послідовність нескінченна, то така сума називається числовим рядом і позначається
.
В алгебраїчний вираз можуть входити члени, знаки яких наперед не визначені. Тобто для певних членів виразу виконується операція додавання, для інших — віднімання. Тому вираз загального вигляду, до якого входять операції додавання і віднімання називають алгебраїчною сумою. Наприклад,
![{\displaystyle 5-4=5+(-4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1edf8fdf378023f2148ad75068b715839e691c6b)
![{\displaystyle a-b=a+(-b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03e1ad2ad4d5dbbd763ad4c40a0d7bf250cd208)
Часто для скорочення суму з n доданків ak, ak+1, …, aN позначають великою грецькою буквою Σ (сигма):
Це позначення називається визначеною (скінченню) сумою ai по i від k до N.
Для зручності замість
інколи пишуть
, де
— деяке відношення для
, таким чином
це скінченна сума всіх
, де ![{\displaystyle i\in Z:P(i)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0638978f305e66b199302480de7b5c734d9f4c74)
Властивості визначеної суми:
![{\displaystyle \left(\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{i}\right)\left(\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}b_{j}\right)=\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}\left(\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}a_{i}b_{j}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0112709edebd1b5af85fb02683d45ad1052bdc)
![{\displaystyle \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}a_{ij}=\sum _{j=p_{1}}^{p_{2}}\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad5b5d0792138a5481534b1d472b01f09b6b40f9)
![{\displaystyle \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}(a_{i}+b_{i})=\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{i}+\sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}b_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f77197751ca1d40e18acf7f0992ae1d9bf93f590)
![{\displaystyle \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}{z\cdot a_{i}}=z\cdot \sum _{i=k_{1}}^{k_{2}}a_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c1407b0330f5008cc9522d8d0da1cd148587dad)
- Сума арифметичної прогресії:
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(a_{0}+b\cdot i)=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da52a69412320e7030c4454958844f55669ae379)
- Сума геометричної прогресії:
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{0}\cdot b^{i}=a_{0}\cdot {\frac {1-b^{n+1}}{1-b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27bc50765547aefc16dab043564011cd5a7a29d7)
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}}}\right),\quad p\neq 1,n\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9689c0ab0eb3e8c56d5684270187a33b381b9565)
Чому це так
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}=\sum _{i=0}^{n}{1\cdot {\frac {1}{p^{i}}}}=1\cdot {\frac {1-{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{n+1}}{1-{\frac {1}{p}}}}={\frac {\frac {p^{n+1}-1}{p^{n+1}}}{\frac {p-1}{p}}}={\frac {p^{n+1}-1}{p^{n}(p-1)}}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3acf6e1fa51d064de9cf287c2f928fe9eccf851c)
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^{2}}},\quad p\neq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4efea1160cea8383cf55cd96080810424aa9c82d)
Чому це так
Доведення:
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}ip^{i}=\sum _{i=1}^{n}ip^{i}=p\cdot \sum _{i=1}^{n}ip^{i-1}=p\cdot \sum _{i=0}^{n-1}(i+1)p^{i}=p\cdot \left(\sum _{i=0}^{n-1}{ip^{i}}+\sum _{i=0}^{n-1}p^{i}\right)=p\cdot \sum _{i=0}^{n}ip^{i}-p\cdot np^{n}+p\cdot {\frac {1-p^{n}}{1-p}}\Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97879917d27fd3e3ddd780e0768a7dc9884354f6)
![{\displaystyle \Rightarrow (1-p)\sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {-np^{n+1}(1-p)+p-p^{n+1}}{1-p}}\Rightarrow \sum _{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7e84b2fd860cf134aa88eae590d977a8e2b8459)
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}p^{i}=(p-1)\sum _{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1,\quad p\neq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b36b3f6445c465bf4d479287161fa76372ee72)
- При
отримуємо
, а це послідовність рівнянь наступного вигляду:
![{\displaystyle 1=9\cdot 0+1,\quad 11=9\cdot 1+2,\quad 111=9\cdot 12+3,\quad 1111=9\cdot 123+4,\quad 11111=9\cdot 1234+5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/562bf60107071de6bc624bdce1ffe7f7dbe89b85)
Невизначеною сумою ai по i називається така функція f(i), яка позначається
,
що
.
Якщо знайдена невизначена сума
,
тоді
.
Латинське слово summa перекладається як «головний пункт», «сутність», «підсумок». З XV століття слово починає вживатися в сучасному сенсі, з'являється дієслово «підсумувати» (1489 рік)[джерело?].
Це слово проникло в багато сучасних мов: в українську, англійську, французьку та інші.
Спеціальний символ для позначення суми (S) першим ввів Ейлер в 1755 році. Як варіант, використовувалася грецька буква Сигма Σ. Пізніше зважаючи на зв'язок понять підсумовування та інтегрування, S також використовували для позначення операції інтегрування.