Парна функція

Па́рна фу́нкція — функція $f:X\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , визначена на симетричній (відносно початку координат) множині $X$ , яка не змінює значення при зміні знаку аргумента, тобто:

f(-x)=f(x),\quad \forall x\in X.\!

Графік парної функції дзеркально-симетричний відносно осі ординат.

Властивості[ред. | ред. код]

Сума і різниця парних функцій буде парною функцією
Добуток і частка парних функцій буде парною функцією
Добуток і частка непарних функцій буде парною функцією
Композиція парних функцій буде парною функцією

Приклади[ред. | ред. код]

$y=|x|$
$y=x^{2}$
$y=7x^{4}-4x^{2}+5-{\frac {3}{x^{2}}}$ (тільки парні степені)
$y=\cos x$

Алгоритм дослідження функції на парність[ред. | ред. код]

Дослідження функції на парність - це вивчення питання про те, чи є задана функція парною.

Алгоритм дослідження функції $y=f(x)$ на парність:

Знайти для функції $y=f(x)$ область визначення функції ( $D(y)$ ) та встановити чи симетрична $D(y)$ відносно нуля.
Якщо область визначення функції ( $D(y)$ $D(y)$ ) симетрична відносно нуля, тоді:
- скласти вираз $f(-x)$ ;
- порівняти $f(-x)$ та $f(x)$ , якщо рівність $f(-x)=f(x)$ справджується для будь-якого значення $x$ з області визначення функції ( $D(y)$ ), то функція $y=f(x)$ - парна.

Приклади дослідження парності функції[ред. | ред. код]

Приклад 1. Дослідити на парність функцію $f(x)={\frac {x^{6}}{x^{2}-5}}$

Розв'язання:

Областю визначення функції $f(x)={\frac {x^{6}}{x^{2}-5}}$ : $D(y)=(-\infty ;-{\sqrt {5}})\cup (-{\sqrt {5}};{\sqrt {5}})\cup ({\sqrt {5}};+\infty )$ - симетрична відносно нуля. Замінити аргумент $x$ функції $f(x)={\frac {x^{6}}{x^{2}-5}}$ на $-x$ , отримаємо : $f(-x)={\frac {(-x)^{6}}{(-x)^{2}-5}}$ . Оскільки аргумент в чисельнику і знаменнику в парному степені, а степінь від'ємного числа з парним показником є додатним числом, тому $f(-x)={\frac {(-x)^{6}}{(-x)^{2}-5}}={\frac {x^{6}}{x^{2}-5}}$ . Виконується тотожність $f(-x)=f(x),x\neq {\sqrt {5}};x\neq -{\sqrt {5}}$ , тому функція $f(x)={\frac {x^{6}}{x^{2}-5}}$ - парна.