Криволінійний інтеграл II роду
Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини і функція P(x;y), визначена в кожній точці кривої. Розіб’ємо криву AB точками M0=A, M1, M2,..., Mn=B в напрямі від точки A до точки B на n довільних дуг Mi-1Mi з довжинами відповідно Δli (i=1; 2;...; n).
Виберемо на кожній елементарній дузі Mi-1Mi довільну точку (xi; yi) і складемо суму
,
де - проєкція дуги Mi-1Mi на вісь Ox.
Таку суму називають інтегральною сумою для функції P(x;y) по змінній x.
Нехай - найбільша із довжин дуг поділу. Якщо () і існує скінченна границя інтегральних сум, що не залежить від способу розбиття кривої AB і вибору точок (xi;yi) , то її називають криволінійним інтегралом по координаті x (або II роду) від функції P(x;y) по кривій AB і позначають
або .
Таким чином, за означенням
.
Аналогічно виводиться інтеграл від функції Q(x;y) по координаті y:
,
де - проєкція дуги Mi-1Mi на вісь Oy.
Криволінійний інтеграл ІІ роду в загальному вигляді на площині:
Криволінійний інтеграл ІІ роду по кривій в тривимірному просторі визначається аналогічно:
1) (Лінійність). Якщо існують інтеграли ( ) 1, AB a dr ò r r і ( ) 2, AB a dr ò r r , то для будь-яких дійсних a і b існує інтеграл ( ) 1 2, AB a + b a a dr ò r r r , причому ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , , , AB AB AB a + b = a + b a a dr a dr a dr ò ò ò r r r r r r r .
2) (Адитивність). Якщо крива AB AC CB = È і існує криволінійний інтеграл ( ) , AB a dr ò r r , то існують інтеграли ò r r і ( ) , CB a dr ò r r , причому ( ) ( ) ( ) , , , AB AC CB ò ò ò a dr a dr a dr = + r r r r r r . 3) Криволінійний інтеграл другого роду залежить від орієнтації кривої, тобто ( ) ( ) , , AB BA ò ò a dr a dr = - r r r r .
Основна стаття: Формула Ґріна
Нехай функція Р(х,у) та її частинна похідна dP(x,y)/dy неперервна в області D і на її межі.Функції у=у1(х) , у=у2(х) неперервні на [a,b].Тоді обчислимо :
Подвійний інтеграл по D dP(x,у)/dy*dxdy=...
Застосовується на екзаменах у вищих навчальних закладах.
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)