Нехай на площині
задана неперервна крива
довжини
. Розглянемо неперервну функцію
, задану в точках дуги
. Розіб’ємо криву
точками
на
довільних дуг
з довжинами відповідно
.
Виберемо на кожній дузі
довільну точку
і складемо суму:
.
Її називають інтегральною сумою для функції
по кривій
.
Нехай
- найбільша із довжин дуг поділу. Якщо
(
) існує скінченна границя інтегральних сум, то її називають криволінійним інтегралом від функції
по довжині кривої
, або криволінійним інтегралом І роду від функції
по кривій
і позначають
або
.
Таким чином, за означенням:
.
Теорема про існування криволінійного інтеграла І роду
[ред. | ред. код]
Якщо функція
неперервна в кожній точці гладкої кривої (в кожній точці
існує дотична до даної кривої і її положення неперервно змінюється при переміщенні точки по кривій), то криволінійний інтеграл І роду існує і його величина не залежить ні від способу розбиття кривої на частини, ні від вибору точок на них.
Властивості криволінійного інтеграла І роду
[ред. | ред. код]
.
, тобто криволінійний інтеграл І роду не залежить від напрямку інтегрування.
.
, тобто сталий множник можна виносити за знак інтеграла.
.
, тобто інтеграл суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) інтегралів.
.
, якщо шлях інтегрування
розбито на частини
і
такі, що
і
та
мають єдину спільну точку.
. Якщо для точок кривої
виконується нерівність
, то ![{\displaystyle \int _{L}f_{1}(x;y)\,dl\leq \int _{L}f_{2}(x;y)\,dl}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d06c4e441f3ed926035a475320d35acfa01091db)
.
, де
- довжина кривої
.
. Якщо функція
неперервна на кривій
, то на цій кривій знайдеться точка
така, що
(теорема про середнє).
Нехай в тривимірному просторі задана гладка дуга
в параметричному вигляді:
,
тобто
,
,
є неперервними на
. То криволінійний інтеграл 1 роду по даній кривій:
![{\displaystyle \int _{L}^{}f(x,y,z)\,dl=\int _{\alpha \ }^{\beta \ }f(x(t),y(t),z(t)){\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eda82f35c34fbc048472a96dffa0830b81979386)
Для двовимірного випадку:
![{\displaystyle \int _{L}^{}f(x,y)\,dl=\int _{\alpha \ }^{\beta \ }f(x(t),y(t)){\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f45f51affc915f2ba286ddcc950efb4b5d75a5d5)
Явне задання кривої:
,
: f x y dl f x y x y x dx
Нехай в полярній системі координат крива задана функцією
То криволінійний інтеграл 1-го роду по даній кривій:
Застосування криволінійного інтеграла І роду
[ред. | ред. код]
Інтеграл
Криволінійний інтеграл
Криволінійний інтеграл II роду