Криволінійний інтеграл I роду

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Означення[ред. | ред. код]

Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини l. Розглянемо неперервну функцію f(x;y), задану в точках дуги AB. Розіб’ємо криву AB точками M0=A, M1, M2,..., Mn=B на n довільних дуг Mi-1Mi з довжинами відповідно Δli (i=1; 2;...; n). Виберемо на кожній дузі Mi-1Mi довільну точку (xi; yi) і складемо суму
.
Її називають інтегральною сумою для функції f(x;y) по кривій AB. Нехай - найбільша із довжин дуг поділу. Якщо () існує скінченна границя інтегральних сум, то її називають криволінійним інтегралом від функції f(x;y) по довжині кривої AB, або криволінійним інтегралом І роду від функції f(x;y) по кривій AB і позначають
або .
Таким чином, за означенням
.

Теорема про існування криволінійного інтеграла І роду[ред. | ред. код]

Якщо функція f(x;y) неперервна в кожній точці гладкої кривої (в кожній точці існує дотична до даної кривої і її положення неперервно змінюється при переміщенні точки по кривій), то криволінійний інтеграл І роду існує і його величина не залежить ні від способу розбиття кривої на частини, ні від вибору точок на них.

Властивості криволінійного інтеграла І роду[ред. | ред. код]

1. , тобто криволінійний інтеграл І роду не залежить від напрямку інтегрування.

2. , тобто сталий множник можна виносити за знак інтегралу.

3. , тобто інтеграл суми(різниці) дорівнює сумі(різниці) інтегралів.

4. , якщо шлях інтегрування L розбито на частини L1 і L2 такі, що і L1 та L2 мають єдину спільну точку.

5. Якщо для точок кривої L виконується нерівність , то

6. , де l - довжина кривої AB.

7. Якщо функція f(x;y) неперервна на кривій AB, то на цій кривій знайдеться точка (xc;yc) така, що (теорема про середнє).

Обчислення криволінійного інтегралу І роду[ред. | ред. код]

Параметричне задання кривої інтегрування[ред. | ред. код]

Нехай в тривимірному просторі задана гладка дуга AB в параметричному вигляді:
,
тобто x(t), y(t), z(t) є неперервними на [α, β]. То криволінійний інтеграл 1 роду по даній кривій
Для двовимірного випадку:

Явне задання кривої інтегрування[ред. | ред. код]

Явне задання кривої: y = y(x) , x ∈[a,b]: f x y dl f x y x y x dx

Полярне задання кривої інтегрування[ред. | ред. код]

Нехай в полярній системі координат крива задана функцією
То криволінійний інтеграл 1-го роду по даній кривій

Застосування криволінійного інтегралу І роду[ред. | ред. код]

Визначення маси кривої[ред. | ред. код]

Визначення довжини кривої[ред. | ред. код]

Див. також[ред. | ред. код]

Інтеграл
Криволінійний інтеграл
Криволінійний інтеграл ІІ роду