Матрична тотожність Вудбурі

Матрична тотожність Вудбері

(A+UCV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1},

де матриці A розміру n×n, U розміру n×k, C розміру k×k і V розміру k×n.

Доведення через систему матричних рівнянь

Розв'язуючи систему матричних рівнянь

{\begin{bmatrix}A&U\\V&-C^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X\\Y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix}}

Отримаємо систему з двох рівнянь $AX+UY=I$ та $VX-C^{-1}Y=0$ , вилучимо Y з першого рівняння: $(A+UCV)X=I$ .

Перетворимо перше рівняння так $X=A^{-1}(I-UY)$ , і підставимо його в друге рівняння $VA^{-1}(I-UY)=C^{-1}Y$ .

Отримаємо $VA^{-1}=(C^{-1}+VA^{-1}U)Y$ , чи $(C^{-1}+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}=Y$ .

Підставимо Y в $AX+UY=I$ , і отримаємо $AX+U(C^{-1}+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}=I$ . Отримаємо

(A+UCV)^{-1}=X=A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}.

В матриці

{\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}

для обнулення елемента під A (дано що A невироджена) домножимо зліва на ліву трикутну матрицю,

а для обнулення елемента над C домножимо справа на праву трикутну матрицю.

Отримаємо LDU розклад блочної матриці

{\begin{bmatrix}I&0\\-VA^{-1}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&-A^{-1}U\\0&I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\0&C-VA^{-1}U\end{bmatrix}}

Проінвертуємо обидві сторони і перенесемо трикутні матриці направо

${\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}^{-1}$	$={\begin{bmatrix}I&A^{-1}U\\0&I\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A&0\\0&C-VA^{-1}U\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}I&0\\VA^{-1}&I\end{bmatrix}}^{-1}$
	$={\begin{bmatrix}I&-A^{-1}U\\0&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A^{-1}&0\\0&(C-VA^{-1}U)^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&0\\-VA^{-1}&I\end{bmatrix}}$
	$={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}U(C-VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}&-A^{-1}U(C-VA^{-1}U)^{-1}\\-(C-VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}&(C-VA^{-1}U)^{-1}\end{bmatrix}}\qquad \mathrm {(1)}$

Також можна записати UDL розклад блочної матриці (дано що C невироджена)

{\begin{bmatrix}I&-UC^{-1}\\0&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&0\\-C^{-1}V&I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A-UC^{-1}V&0\\0&C\end{bmatrix}}

Знову проінвертуємо обидві сторони і перенесемо трикутні матриці направо

${\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}^{-1}$	$={\begin{bmatrix}I&0\\C^{-1}V&I\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A-UC^{-1}V&0\\0&C\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}I&UC^{-1}\\0&I\end{bmatrix}}^{-1}$
	$={\begin{bmatrix}I&0\\-C^{-1}V&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}(A-UC^{-1}V)^{-1}&0\\0&C^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&-UC^{-1}\\0&I\end{bmatrix}}$
	$={\begin{bmatrix}(A-UC^{-1}V)^{-1}&-(A-UC^{-1}V)^{-1}UC^{-1}\\-C^{-1}V(A-UC^{-1}V)^{-1}&C^{-1}V(A-UC^{-1}V)^{-1}UC^{-1}+C^{-1}\end{bmatrix}}\qquad \mathrm {(2)}$