Матрична тотожність Вудбурі

Матрична тотожність Вудбері

$(A+UCV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1},$

де матриці A розміру n×n, U розміру n×k, C розміру k×k і V розміру k×n.

Використовується для обернення блочної матриці.

Доведення через систему матричних рівнянь

Розв'язуючи систему матричних рівнянь

${\begin{bmatrix}A&U\\V&-C^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X\\Y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix}}$

Отримаємо систему з двох рівнянь $AX+UY=I$ та $VX-C^{-1}Y=0$, вилучимо Y з першого рівняння: $(A+UCV)X=I$.

Перетворимо перше рівняння так $X=A^{-1}(I-UY)$, і підставимо його в друге рівняння $VA^{-1}(I-UY)=C^{-1}Y$.

Отримаємо $VA^{-1}=(C^{-1}+VA^{-1}U)Y$, чи $(C^{-1}+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}=Y$.

Підставимо Y в $AX+UY=I$, і отримаємо $AX+U(C^{-1}+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}=I$. Отримаємо

$(A+UCV)^{-1}=X=A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}.$

Доведення через LDU розклад матриці

В матриці

${\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}$

для обнулення елемента під A (дано що A невироджена) домножимо зліва на ліву трикутну матрицю,

а для обнулення елемента над C домножимо справа на праву трикутну матрицю.

Отримаємо LDU розклад блочної матриці

${\begin{bmatrix}I&0\\-VA^{-1}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&-A^{-1}U\\0&I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\0&C-VA^{-1}U\end{bmatrix}}$

Проінвертуємо обидві сторони і перенесемо трикутні матриці направо

${\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}^{-1}$	$={\begin{bmatrix}I&A^{-1}U\\0&I\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A&0\\0&C-VA^{-1}U\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}I&0\\VA^{-1}&I\end{bmatrix}}^{-1}$
	$={\begin{bmatrix}I&-A^{-1}U\\0&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A^{-1}&0\\0&(C-VA^{-1}U)^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&0\\-VA^{-1}&I\end{bmatrix}}$
	$={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}U(C-VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}&-A^{-1}U(C-VA^{-1}U)^{-1}\\-(C-VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}&(C-VA^{-1}U)^{-1}\end{bmatrix}}\qquad \mathrm {(1)}$

---

Також можна записати UDL розклад блочної матриці (дано що C невироджена)

${\begin{bmatrix}I&-UC^{-1}\\0&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&0\\-C^{-1}V&I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A-UC^{-1}V&0\\0&C\end{bmatrix}}$

Знову проінвертуємо обидві сторони і перенесемо трикутні матриці направо

${\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}^{-1}$	$={\begin{bmatrix}I&0\\C^{-1}V&I\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A-UC^{-1}V&0\\0&C\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}I&UC^{-1}\\0&I\end{bmatrix}}^{-1}$
	$={\begin{bmatrix}I&0\\-C^{-1}V&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}(A-UC^{-1}V)^{-1}&0\\0&C^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&-UC^{-1}\\0&I\end{bmatrix}}$
	$={\begin{bmatrix}(A-UC^{-1}V)^{-1}&-(A-UC^{-1}V)^{-1}UC^{-1}\\-C^{-1}V(A-UC^{-1}V)^{-1}&C^{-1}V(A-UC^{-1}V)^{-1}UC^{-1}+C^{-1}\end{bmatrix}}\qquad \mathrm {(2)}$

---

Порівняємо елементи (1,1) матриць (1) та (2) і отримаємо тотожність Вудбері:

$\ (A-UC^{-1}V)^{-1}=A^{-1}+A^{-1}U(C-VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}.$

Часткові випадки

Якщо n = k та U = V = I_n, тоді

$\left(\mathbf {A} +\mathbf {C} \right)^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}-\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {C} +\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}.$

Якщо k = 1 та C = I_k, тоді U буде вектором-стовпцем u, та V буде вектором-рядком v^T. Тоді

$\left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\mathrm {T} }\right)^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}-{\frac {\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {uv} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{-1}}{1+\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} }}$ — має назву формули Шермана — Моррісона.

Якщо A = I_n та C = I_k, тоді

$\left(\mathbf {I} _{n}+\mathbf {UV} \right)^{-1}=\mathbf {I} _{n}-\mathbf {U} \left(\mathbf {I} _{n}+\mathbf {VU} \right)^{-1}\mathbf {V} ,$

зокрема, справедливо

$\left(\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\mathrm {T} }\right)^{-1}=\mathbf {I} -{\frac {\mathbf {uv} ^{\mathrm {T} }}{1+\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\mathbf {u} }}.$

Див. також

• Невироджена матриця
• Доповнення Шура

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
• Ланкастер П. Теория матриц. — Москва : Наука, 1973. — 280 с.(рос.)
• Р.Хорн, Ч.Джонсон. Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)