Блочна матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Блочна матрицяматриця, що уявно поділена на однакові прямокутні частини (блоки), які самі розглядаються як матриці.

Приклад[ред. | ред. код]

Матриця складається з наступних блоків (матриць):

І може бути записана як блочна матриця

Множення блочних матриць[ред. | ред. код]

Множення блочних матриць може бути обчислене тільки за допомогою операцій над блоками. Якщо

— матриця розміру m×p, поділена на q×s блоків,
— матриця розміру p×n, поділена на s×r блоків,

тоді добуток

буде матрицею розміру m×n, поділеною на q×r блоків. Блоки обчислюватимуться за формулою:

Або, використовуючи нотацію Ейнштейна, цю формулу можна записати так:

Обернена до блочної матриця[ред. | ред. код]

Нехай A, B, C, D є матрицями розмірів p×p, p×q, q×p і q×q відповідно і P — наступна блочна матриця:

Якщо A і доповнення Шура D - CA-1B для блоку A матриці P є оборотними матрицями, то

[1]

Якщо D і доповнення Шура A - BD-1C для блоку D матриці P є оборотними матрицями, то

Якщо наведені вище умови виконуються разом, то

Визначник блочної матриці[ред. | ред. код]

Для блочної матриці, яка складається з чотирьох матриць A, B, C, D розмірів p×p, p×q, q×p і q×q відповідно, при умові, що одна з матриць B або C нульова, можна вивести формулу визначника, яка схожа на формулу визначника матриці 2×2:

Якщо A — оборотна матриця, то

Якщо D — оборотна матриця, то

Тепер нехай всі блоки будуть квадратними матрицями однакового розміру і

Якщо A і B комутують, то [2][3]

Якщо A і C комутують, то

Якщо B і D комутують, то

Якщо C і D комутують, то

Блочні діагональні матриці[ред. | ред. код]

Блочна діагональна матриця — це блочна матриця що є квадратною матрицею, блоки якої також є квадратними матрицями і блоки поза основною діагоналлю є нульовими матрицями. Тобто має форму

де Ak — квадратні матриці; іншими словами, пряма сума матриць A1, …, An. Записується A1  A2  An чи  diag(A1, A2,, An).

Визначник та слід такої матриці мають наступні властивості:

,
.

Блочна діагональна матриця оборотна тоді і тільки тоді, коли кожен з її блоків на діагоналі є оборотною матрицею, і тоді

Для довільного натурального m буде:

Множина власних векторів блочної матриці збігається з об'єднанням множин власних векторів матриць на її діагоналі. Те саме стосується і власних значень.

Блочна тридіагональна матриця[ред. | ред. код]

Блочна тридіагональна матриця - це квадратна матриця, яка має квадратні матриці (блоки) на головній діагоналі та діагоналях під та над нею, а всі інші блоки - нульові матриці.

Це по-суті тридіагональна матриця, але на місці скалярів в неї підматриці. Така матриця має наступний вигляд:

де Ak, Bk та Ck - квадратні підматриці нижньої, головної та вищої діагоналі відповідно.

Блочні тридіагональні матриці зустрічаються при розв'язанні інженерних задач (наприклад в обчислювальній гідродинаміці). Існують оптимізовані чисельні методи для LU-розкладу, і відповідно ефективні алгоритми розв'язку систем рівнянь з матрицею кофіцієнтів, яка є блочною тридіагональною матрицею. Алгоритм Томаса, який використовується для ефективного розв'язку систем рівнянь з тридіагональною матрицею також може застосовуватись при використанні матричних операцій до блочних тридіагональних матриць.

Пряма сума[ред. | ред. код]

Для довільних матриць A (розміру m×n) та B (розміру p×q), прямою сумою (позначається A  B) буде матриця

Наприклад:

Ця операція узагальнюється на масиви довільної розмірності (не потрібно щоб A та B мали однакову розмірність).

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Dennis Bernstein. Matrix Mathematics. — Princeton University Press, 2005. — 44 с. — ISBN 0-691-11802-7.
  2. Silvester, J. R. (2000). Determinants of Block Matrices. Math. Gaz. 84 (501): 460–467. JSTOR 3620776. doi:10.2307/3620776. Архів оригіналу за 18 березня 2015. Процитовано 25 червня 2021. 
  3. Sothanaphan, Nat (January 2017). Determinants of block matrices with noncommuting blocks. Linear Algebra and Its Applications 512: 202–218. arXiv:1805.06027. doi:10.1016/j.laa.2016.10.004.