Блочна матриця

Блочна матриця — прямокутна матриця, що уявно поділена на однакові прямокутні частини (блоки), які самі розглядаються як матриці.

Приклад

Матриця $\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\end{bmatrix}}$ складається з наступних блоків (матриць):$\mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}2&2\\2&2\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{22}={\begin{bmatrix}4&4\\4&4\end{bmatrix}}.$

І може бути записана як блочна матриця

$\mathbf {P} _{\mathrm {partitioned} }={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{11}&\mathbf {P} _{12}\\\mathbf {P} _{21}&\mathbf {P} _{22}\end{bmatrix}}.$

Множення блочних матриць

Множення блочних матриць може бути обчислене тільки за допомогою операцій над блоками. Якщо

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}&\cdots &\mathbf {A} _{1s}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}&\cdots &\mathbf {A} _{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {A} _{q1}&\mathbf {A} _{q2}&\cdots &\mathbf {A} _{qs}\end{bmatrix}}$ — матриця розміру m×p, поділена на q×s блоків,

$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}&\cdots &\mathbf {B} _{1r}\\\mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}&\cdots &\mathbf {B} _{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {B} _{s1}&\mathbf {B} _{s2}&\cdots &\mathbf {B} _{sr}\end{bmatrix}}$ — матриця розміру p×n, поділена на s×r блоків,

тоді добуток

$\mathbf {C=AB}$

буде матрицею розміру m×n, поділеною на q×r блоків. Блоки обчислюватимуться за формулою:

$\mathbf {C} _{\alpha \beta }=\sum _{\gamma =1}^{s}\mathbf {A} _{\alpha \gamma }\mathbf {B} _{\gamma \beta }.$

Блочні діагональні матриці

Блочна діагональна матриця — блочна матриця що є квадратною матрицею, блоки також є квадратними матрицями і блоки поза основною діагоналлю є нульовими матрицями. Тобто має форму

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&0&\cdots &0\\0&\mathbf {A} _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\mathbf {A} _{n}\end{bmatrix}}$

де A_k — квадратні матриці; іншими словами, пряма сума матриць A₁, …, A_n. Записується A₁ $\oplus$ A₂ $\oplus \,\ldots \,\oplus$ A_n  чи  diag(A₁, A₂,$\ldots$, A_n).

Визначник та слід матриці мають властивості:

$\operatorname {det} \mathbf {A} =\operatorname {det} \mathbf {A} _{1}\cdots \operatorname {det} \mathbf {A} _{n}$,

$\operatorname {trace} \mathbf {A} =\operatorname {trace} \mathbf {A} _{1}+\cdots +\operatorname {trace} \mathbf {A} _{n}$.

Блочна тридіагональна матриця

Блочна тридіагональна матриця - це інший вид блочної матриці, який виглядає майже так само як блочна діагональна матриця: квадратна матриця, яка має квадратні матриці (блоки) на головній діагоналі та діагоналях під та над нею, а всі інші блоки - нульові матриці.

Це по-суті тридіагональна матриця, але на місці скалярів в неї підматриці. Така матриця має наступний вигляд:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{1}&\mathbf {C} _{1}&&&\cdots &&0\\\mathbf {A} _{2}&\mathbf {B} _{2}&\mathbf {C} _{2}&&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&\mathbf {A} _{k}&\mathbf {B} _{k}&\mathbf {C} _{k}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&&\mathbf {A} _{n-1}&\mathbf {B} _{n-1}&\mathbf {C} _{n-1}\\0&&\cdots &&&\mathbf {A} _{n}&\mathbf {B} _{n}\end{bmatrix}}$

де A_k, B_k та C_k - квадратні підматриці нижчої головної та вищої діагоналі відповідно.

Блочні тридіагональні матриці часто зустрічаються в числових розв'язках інженерних проблем (наприклад в обчислювальній гідродинаміці). Існують оптимізовані чисельні методи для LU-розкладу, і відповідно ефективні алгоритми розв'язку систем рівнянь з матрицею кофіцієнтів яка є блочною тридіагональною матрицею. Алгоритм Томаса, який використовується для ефективного розв'язку систем рівнянь з тридіагональною матрицею також може застосовуватись при використанні матричних операцій до блочних тридіагональних матриць.

Пряма сума

Для довільних матриць A (розміру m×n) та B (розміру p×q), прямою сумою (позначається A $\oplus$ B) буде матриця

$\mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}.$

Наприклад:

${\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.$

Ця операція узагальнюється на масиви довільної розмірності ( не потрібно щоб A та B мали однакову розмірність).

Прямий добуток

Прямий добуток — бінарна операція над матрицями довільного розміру, позначається $\otimes$. Результатом є блочна матриця.

Прямий добуток не слід путати зі звичайним множенням матриць. Операція названа в честь німецького математика Леопольда Кронекера.

Визначення

Якщо A — матриця розміру m×n, B — матриця розміру p×q, тоді добутком Кронекера є блочна матриця розміру mp×nq

$A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{bmatrix}}.$

Білінійність, асоціативність та некомутативність

• Прямий добуток є частковим випадком тензорного добутку, отже він є білінійним та асоціативним:

$A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C,$

$(A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C,$

$(kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B),$

$(A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C),$

де A, B та C є матрицями, а k — скаляр.

• Прямий добуток не є комутативним. Хоча, завжди існують такі матриці перестановки P та Q, що

$A\otimes B=P\,(B\otimes A)\,Q.$

Якщо A та B квадратні матриці, тоді A $\otimes$ B та B $\otimes$ A є перестановочно подібними, тобто, P = Q^T.

Транспонування

Операція транспонування є дистрибутивною відносно добутку Кронекера

$(A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T}.$

Мішаний добуток

• Якщо A, B, C та D є матрицями такого розміру, що існують добутки AC та BD, тоді

$(A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD.$

• A $\otimes$ B є оборотною тоді і тільки тоді коли A та B є оборотними, і тоді

$(A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}.$

Сума та експонента Кронекера

• Якщо A — матриця розміру n×n, B — матриця розміру m×m і $I_{k}$ — одинична матриця розміру k×k тоді ми можемо визначити суму Кронекера $\oplus$, як

$A\oplus B=A\otimes I_{m}+I_{n}\otimes B.$

• Також справедливо

$e^{A\oplus B}=e^{A}\otimes e^{B}.$

Спектр, слід та визначник

• Якщо A та B квадратні матриці розміру n та q відповідно. Якщо λ₁, ..., λ_n — власні значення матриці A та μ₁, ..., μ_q власні значення матриці B. Тоді власними значеннями A $\otimes$ B є

$\lambda _{i}\mu _{j},\qquad i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,q.$

• Слід та визначник добутку Кронекера рівні

$\operatorname {tr} (A\otimes B)=\operatorname {tr} (A)\,\operatorname {tr} (B),$

$\det(A\otimes B)=(\det A)^{q}(\det B)^{n}.$

Сингулярний розклад та ранг

• Якщо матриця A має r_A ненульових сингулярних значень:

$\sigma _{A,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{A}.$

Ненульові сингулярні значення матриці B:

$\sigma _{B,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{B}.$

Тоді добуток Кронекера A $\otimes$ B має r_Ar_B ненульових сингулярних значень

$\sigma _{A,i}\sigma _{B,j},\qquad i=1,\ldots ,r_{A},\,j=1,\ldots ,r_{B}.$

• Ранг матриці рівний кількості ненульових сингулярних значень, отже

$\operatorname {rank} (A\otimes B)=\operatorname {rank} (A)\,\operatorname {rank} (B).$

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2 изд. — Москва : Наука, 1967. — 576 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)