Блочна матриця — прямокутна матриця, що уявно поділена на однакові прямокутні частини-блоки, які самі розглядаються як матриці.
Матриця
складається з наступних блоків(матриць):
І може бути записана як блочна матриця

Множення блочних матриць[ред. | ред. код]
Множення блочних матриць може бути обчислене тільки за допомогою операцій над блоками. Якщо
— матриця розміру m×p, поділена на q×s блоків,
— матриця розміру p×n, поділена на s×r блоків,
тоді добуток

буде матрицею розміру m×n, поділеною на q×r блоків. Блоки обчислюватимуться за формулою:

Блочні діагональні матриці[ред. | ред. код]
Блочна діагональна матриця — блочна матриця що є квадратною матрицею, блоки також є квадратними матрицями і блоки поза основною діагоналлю є нульовими матрицями. Тобто має форму

де Ak — квадратні матриці; іншими словами, пряма сума матриць A1, …, An. Записується A1
A2
An чи diag(A1, A2,
, An).
Визначник та слід матриці мають властивості:
,
.
Блочна тридіагональна матриця[ред. | ред. код]
Блочна тридіагональна матриця - це інший вид блочної матриці, який виглядає майже так само як блочна діагональна матриця: квадратна матриця, яка має квадратні матриці (блоки) на головній діагоналі та діагоналях під та над нею, а всі інші блоки - нульові матриці.
Це по-суті тридіагональна матриця, але на місці скалярів в неї підматриці. Така матриця має наступний вигляд:

де Ak, Bk та Ck - квадратні підматриці нижчої головної та вищої діагоналі відповідно.
Блочні тридіагональні матриці часто зустрічаються в числових розв'язках інженерних проблем (наприклад в обчислювальній гідродинаміці). Існують оптимізовані чисельні методи для LU-розкладу, і відповідно ефективні алгоритми розв'язку систем рівнянь з матрицею кофіцієнтів яка є блочною тридіагональною матрицею. Алгоритм Томаса, який використовується для ефективного розв'язку систем рівнянь з тридіагональною матрицею також може застосовуватись при використанні матричних операцій до блочних тридіагональних матриць.
Для довільних матриць A (розміру m×n) та B (розміру p×q), прямою сумою (позначається A
B) буде матриця

Наприклад:

Ця операція узагальнюється на масиви довільної розмірності ( не потрібно щоб A та B мали однакову розмірність).
Прямий добуток — бінарна операція над матрицями довільного розміру, позначається
. Результатом є блочна матриця.
Прямий добуток не слід путати зі звичайним множенням матриць. Операція названа в честь німецького математика Леопольда Кронекера.
Якщо A — матриця розміру m×n, B — матриця розміру p×q, тоді добутком Кронекера є блочна матриця розміру mp×nq

Білінійність, асоціативність та некомутативність[ред. | ред. код]



- де A, B та C є матрицями, а k — скаляр.

Якщо A та B квадратні матриці, тоді A
B та B
A є перестановочно подібними, тобто, P = QT.
Операція транспонування є дистрибутивною відносно добутку Кронекера

- Якщо A, B, C та D є матрицями такого розміру, що існують добутки AC та BD, тоді

- A
B є оборотною тоді і тільки тоді коли A та B є оборотними, і тоді

Сума та експонента Кронекера[ред. | ред. код]
- Якщо A — матриця розміру n×n, B — матриця розміру m×m і
— одинична матриця розміру k×k тоді ми можемо визначити суму Кронекера
, як


Спектр, слід та визначник[ред. | ред. код]
- Якщо A та B квадратні матриці розміру n та q відповідно. Якщо λ1, ..., λn — власні значення матриці A та μ1, ..., μq власні значення матриці B. Тоді власними значеннями A
B є

- Слід та визначник добутку Кронекера рівні


Сингулярний розклад та ранг[ред. | ред. код]

Ненульові сингулярні значення матриці B:

Тоді добуток Кронекера A
B має rArB ненульових сингулярних значень

- Ранг матриці рівний кількості ненульових сингулярних значень, отже
