Блочна матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Блочна матриця — прямокутна матриця, що уявно поділена на одинакові прямокутні частини-блоки, які самі розглядаються як матриці.

Приклад[ред.ред. код]

Матриця складається з наступних блоків(матриць):

І може бути записана як блочна матриця

Множення блочних матриць[ред.ред. код]

Множення блочних матриць може бути обчислене тільки за допомогою операцій над блоками. Якщо

— матриця розміру m×p, поділена на q×s блоків,
— матриця розміру p×n, поділена на s×r блоків,

тоді добуток

буде матрицею розміру m×n, поділеною на q×r блоків. Блоки обчислюватимуться за формулою:

Блочні діагональні матриці[ред.ред. код]

Блочна діагональна матриця — блочна матриця що є квадратною матрицею, блоки також є квадратними матрицями і блоки поза основною діагоналлю є нульовими матрицями. Тобто має форму

де Ak — квадратні матриці; іншими словами, пряма сума матриць A1, …, An. Записується A1  A2  An  чи  diag(A1, A2,, An).

Визначник та слід матриці мають властивості:

,
.

Пряма сума[ред.ред. код]

Для довільних матриць A (розміру m×n) та B (розміру p×q), прямою сумою (позначається A  B) буде матриця

Наприклад:

Ця операція узагальнюється на масиви довільної розмірності ( не потрібно щоб A та B мали одинакову розмірність).

Прямий добуток[ред.ред. код]

Докладніше у статті Добуток Кронекера

Прямий добутокбінарна операція над матрицями довільного розміру, позначається . Результатом є блочна матриця.

Прямий добуток не слід путати зі звичайним множенням матриць. Операція названа в честь німецького математика Леопольда Кронекера.

Визначення[ред.ред. код]

Якщо A — матриця розміру m×n, B — матриця розміру p×q, тоді добутком Кронекера є блочна матриця розміру mp×nq

Білінійність, асоціативність та некомутативність[ред.ред. код]

де A, B та C є матрицями, а k — скаляр.

Якщо A та B квадратні матриці, тоді A B та B A є перестановочно подібними, тобто, P = QT.

Транспонування[ред.ред. код]

Операція транспонування є дистрибутивною відносно добутку Кронекера

Мішаний добуток[ред.ред. код]

  • Якщо A, B, C та D є матрицями такого розміру, що існують добутки AC та BD, тоді
  • A B є оборотною тоді і тільки тоді коли A та B є оборотними, і тоді

Сума та експонента Кронекера[ред.ред. код]

  • Якщо A — матриця розміру n×n, B — матриця розміру m×m і одинична матриця розміру k×k тоді ми можемо визначити суму Кронекера , як
  • Також справедливо

Спектр, слід та визначник[ред.ред. код]

  • Якщо A та B квадратні матриці розміру n та q відповідно. Якщо λ1, ..., λnвласні значення матриці A та μ1, ..., μq власні значення матриці B. Тоді власними значеннями A B є
  • Слід та визначник добутку Кронекера рівні

Сингулярний розклад та ранг[ред.ред. код]

Ненульові сингулярні значення матриці B:

Тоді добуток Кронекера A B має rArB ненульових сингулярних значень

  • Ранг матриці рівний кількості ненульових сингулярних значень, отже

Джерела[ред.ред. код]