Блочна матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Блочна матриця — прямокутна матриця, що уявно поділена на одинакові прямокутні частини-блоки, які самі розглядаються як матриці.

Приклад[ред.ред. код]

Матриця \mathbf{P} = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 & 2\\
1 & 1 & 2 & 2\\
3 & 3 & 4 & 4\\
3 & 3 & 4 & 4\end{bmatrix} складається з наступних блоків(матриць):\mathbf{P}_{11} = \begin{bmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{bmatrix},
\mathbf{P}_{12} = \begin{bmatrix}2 & 2\\2 & 2\end{bmatrix},
\mathbf{P}_{21} = \begin{bmatrix}3 & 3\\3 & 3\end{bmatrix},
\mathbf{P}_{22} = \begin{bmatrix}4 & 4\\4 & 4\end{bmatrix}.

І може бути записана як блочна матриця

\mathbf{P}_{\mathrm{partitioned}} = \begin{bmatrix}
\mathbf{P}_{11} & \mathbf{P}_{12}\\
\mathbf{P}_{21} & \mathbf{P}_{22}\end{bmatrix}.

Множення блочних матриць[ред.ред. код]

Множення блочних матриць може бути обчислене тільки за допомогою операцій над блоками. Якщо


\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
\mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} & \cdots &\mathbf{A}_{1s}\\
\mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22} & \cdots &\mathbf{A}_{2s}\\
\vdots          & \vdots          & \ddots &\vdots \\
\mathbf{A}_{q1} & \mathbf{A}_{q2} & \cdots &\mathbf{A}_{qs}\end{bmatrix} — матриця розміру m×p, поділена на q×s блоків,

\mathbf{B} = \begin{bmatrix}
\mathbf{B}_{11} & \mathbf{B}_{12} & \cdots &\mathbf{B}_{1r}\\
\mathbf{B}_{21} & \mathbf{B}_{22} & \cdots &\mathbf{B}_{2r}\\
\vdots          & \vdots          & \ddots &\vdots \\
\mathbf{B}_{s1} & \mathbf{B}_{s2} & \cdots &\mathbf{B}_{sr}\end{bmatrix} — матриця розміру p×n, поділена на s×r блоків,

тоді добуток

\mathbf{C=AB}

буде матрицею розміру m×n, поділеною на q×r блоків. Блоки обчислюватимуться за формулою:

\mathbf{C}_{\alpha \beta} = \sum^s_{\gamma=1}\mathbf{A}_{\alpha \gamma} \mathbf{B}_{\gamma \beta}.

Блочні діагональні матриці[ред.ред. код]

Блочна діагональна матриця — блочна матриця що є квадратною матрицею, блоки також є квадратними матрицями і блоки поза основною діагоналлю є нульовими матрицями. Тобто має форму

 \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 
\mathbf{A}_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \mathbf{A}_{2} & \cdots &  0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \mathbf{A}_{n} 
\end{bmatrix}

де Ak — квадратні матриці; іншими словами, пряма сума матриць A1, …, An. Записується A1 \oplus A2 \oplus\,\ldots\,\oplus  An  чи  diag(A1, A2,\ldots, An).

Визначник та слід матриці мають властивості:

 \operatorname{det} \mathbf{A} = \operatorname{det} \mathbf{A}_1 \cdots \operatorname{det} \mathbf{A}_n,
 \operatorname{trace} \mathbf{A} = \operatorname{trace} \mathbf{A}_1 +\cdots +\operatorname{trace} \mathbf{A}_n.

Пряма сума[ред.ред. код]

Для довільних матриць A (розміру m×n) та B (розміру p×q), прямою сумою (позначається A \oplus B) буде матриця


  \mathbf{A} \oplus \mathbf{B} =
  \begin{bmatrix}
     a_{11} & \cdots & a_{1n} &      0 & \cdots &      0 \\
     \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
    a_{m 1} & \cdots & a_{mn} &      0 & \cdots &      0 \\
          0 & \cdots &      0 & b_{11} & \cdots &  b_{1q} \\
     \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
          0 & \cdots &      0 & b_{p1} & \cdots &  b_{pq} 
  \end{bmatrix}.

Наприклад:


  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    2 & 3 & 1
  \end{bmatrix}
\oplus
  \begin{bmatrix}
    1 & 6 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\
    2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 1
  \end{bmatrix}.

Ця операція узагальнюється на масиви довільної розмірності (потрібно щоб A та B мали одинакову розмірність).

Прямий добуток[ред.ред. код]

Докладніше у статті Добуток Кронекера

Прямий добутокбінарна операція над матрицями довільного розміру, позначається \otimes. Результатом є блочна матриця.

Прямий добуток не слід путати зі звичайним множенням матриць. Операція названа в честь німецького математика Леопольда Кронекера.

Визначення[ред.ред. код]

Якщо A — матриця розміру m×n, B — матриця розміру p×q, тоді добутком Кронекера є блочна матриця розміру mp×nq

A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{bmatrix}.

Білінійність, асоціативність та некомутативність[ред.ред. код]

 A \otimes (B+C) = A \otimes B + A \otimes C,
 (A+B)\otimes C = A \otimes C + B \otimes C,
 (kA) \otimes B = A \otimes (kB) = k(A \otimes B),
 (A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C),
де A, B та C є матрицями, а k — скаляр.
 A \otimes B = P \, (B \otimes A) \, Q.

Якщо A та B квадратні матриці, тоді A \otimes B та B \otimes A є перестановочно подібними, тобто, P = QT.

Транспонування[ред.ред. код]

Операція транспонування є дистрибутивною відносно добутку Кронекера

(A\otimes B)^T = A^T \otimes B^T.

Мішаний добуток[ред.ред. код]

  • Якщо A, B, C та D є матрицями такого розміру, що існують добутки AC та BD, тоді
 (A \otimes B)(C \otimes D) = AC \otimes BD.
  • A \otimes B є оборотною тоді і тільки тоді коли A та B є оборотними, і тоді
 (A \otimes B)^{-1} = A^{-1} \otimes B^{-1}.

Сума та експонента Кронекера[ред.ред. код]

  • Якщо A — матриця розміру n×n, B — матриця розміру m×m і I_kодинична матриця розміру k×k тоді ми можемо визначити суму Кронекера \oplus, як
 A \oplus B = A \otimes I_m + I_n \otimes B.
  • Також справедливо
 e^{A \oplus B} = e^A \otimes e^B.

Спектр, слід та визначник[ред.ред. код]

  • Якщо A та B квадратні матриці розміру n та q відповідно. Якщо λ1, ..., λnвласні значення матриці A та μ1, ..., μq власні значення матриці B. Тоді власними значеннями A \otimes B є
 \lambda_i \mu_j, \qquad i=1,\ldots,n ,\, j=1,\ldots,q.
  • Слід та визначник добутку Кронекера рівні
 \operatorname{tr}(A \otimes B) = \operatorname{tr} (A) \, \operatorname{tr} (B),
 \det(A \otimes B) = (\det A)^q (\det B)^n.

Сингулярний розклад та ранг[ред.ред. код]

 \sigma_{A,i}, \qquad i = 1, \ldots, r_A.

Ненульові сингулярні значення матриці B:

 \sigma_{B,i}, \qquad i = 1, \ldots, r_B.

Тоді добуток Кронекера A \otimes B має rArB ненульових сингулярних значень

 \sigma_{A,i} \sigma_{B,j}, \qquad i=1,\ldots,r_A ,\, j=1,\ldots,r_B.
  • Ранг матриці рівний кількості ненульових сингулярних значень, отже
 \operatorname{rank}(A \otimes B) = \operatorname{rank} (A) \, \operatorname{rank} (B).

Джерела[ред.ред. код]