У лінійній алгебрі і теорії матриць доповнення Шура для блоку матриці (тобто, підматриці в більшій матриці) визначено так. Припустимо A, B, C, D є матриці відповідно p×p, p×q, q×p і q×q, і D оборотна.
Нехай
![{\displaystyle M=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06975df014f40e74936e5d74d528ec791a10d21e)
так що M — це матриця (p+q)×(p+q).
Тоді доповнення Шура для блоку D матриці M це матриця p×p
![{\displaystyle A-BD^{-1}C.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b3ef7070e4be6ce6a97d411679a51b96e730b89)
Його назвали на честь Ісаї Шура, який використав його для доведення леми Шура, хоча його використовували і до того.[1]
Доповнення Щура виникає як результат застосування методу Гауса щодо блоків через множення на матрицю M на блокову нижньотрикутну матрицю
![{\displaystyle L=\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{matrix}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d2de9f5f13686b885f8c4ebd9db596b6804fd5e)
Тут Ip позначає одиничну матрицю p×p. Після множення на матрицю L доповнення Щура з'являється у горішньому p×p блоку. Матрицю добутку така
![{\displaystyle {\begin{aligned}ML&=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}A-BD^{-1}C&B\\0&D\end{matrix}}\right]\\&=\left[{\begin{matrix}I_{p}&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{matrix}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20f5aad0c7471f371ce077a41070037b5ec49c3e)
Це аналогічно до LDU-розкладу матриці. Тобто, ми щойно показали, що
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]&=\left[{\begin{matrix}I_{p}&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A-BD^{-1}C&0\\0&D\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\D^{-1}C&I_{q}\end{matrix}}\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0fd382b10ed1243c7f42cf5504e6b3102991d8)
отже, обернена до M можна представити за участю D−1 і оберненого доповнення Щура (якщо воно існує) як
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]^{-1}=\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&I_{q}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}(A-BD^{-1}C)^{-1}&0\\0&D^{-1}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}I_{p}&-BD^{-1}\\0&I_{q}\end{matrix}}\right]\\[12pt]&=\left[{\begin{matrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\end{matrix}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ce1330151db8fdfe6ee6b40d86f9f51835329b)
Якщо M — симетрична додатноозначена матриця, то й так само буде доповнення Щура для D у M.
Якщо p і q дорівнюють 1 (тоюто A, B, C і D є скалярами), то ми отримуємо формулу для обернення матриці 2-на-2:
![{\displaystyle M^{-1}={\frac {1}{AD-BC}}\left[{\begin{matrix}D&-B\\-C&A\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5648f3d0958a38c96d297032e064e55d8ddf260a)
за умови, що AD − BC не нуль.
Більше того, також чітко видно, що визначник M задається формулою
![{\displaystyle \det(M)=\det(D)\det(A-BD^{-1}C)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e638a197029422f81203bd06322798d65d50555)
яка узагальнює формулу визначника у випадку матриць 2-на-2.
Нехай X — це симетрична матриця задана так
![{\displaystyle X=\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{T}&C\end{matrix}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93ffca64422c591e51d4142e4c182676a6b2dced)
Нехай X/A буде доповненням Щура для A в X, тобто
![{\displaystyle X/A=C-B^{T}A^{-1}B,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901e4958c034bec7b74636ec968a376190a5adf6)
і X/C буде доповненням Щура для C в X, тобто
![{\displaystyle X/C=A-BC^{-1}B^{T}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6891991eb7c3df541522e549d9abe1758b681d79)
Тоді
- X — додатно визначена тоді і тільки тоді коли A і X/A додатно визначені:
.
- X — додатно визначена тоді і тільки тоді коли C і X/C додатно визначені:
.
- Якщо A — додатно визначена, тоді X — додатно напіввизначена тоді і тільки тоді коли X/A є додатно напіввизначеною:
,
.
- Якщо C є додатно визначеною, тоді X — додатно напіввизначеною тоді і тільки тоді коли X/C є додатно напіввизначеною:
,
.
Перше і третє твердження можна отримати [2][3] через розгляд мінімізатора величини
![{\displaystyle u^{T}Au+2v^{T}B^{T}u+v^{T}Cv,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74cdbd2931c2c81ea2e33a9c4d2655864acf3c8e)
як функції від v (для фіксованого u).
Далі, оскільки
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}A&B\\B^{T}&C\end{matrix}}\right]\succ 0\Longleftrightarrow \left[{\begin{matrix}C&B^{T}\\B&A\end{matrix}}\right]\succ 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f446b5476e00962fc346babf164547d0266fd3)
і подібно для додатно напіввизначених матриць, друге (четверте) твердження негайно випливає з першого (відповідно третього) твердження.
Також існує необхідна і достатня умова на додатню напіввизначенність X в термінах узагальненого доповнення Щура.[1] А саме,
і
![{\displaystyle X\succeq 0\Leftrightarrow C\succeq 0,A-BC^{g}B^{T}\succeq 0,(I-CC^{g})B^{T}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc172726da2ea04b67b9427e9e680f485c2da7b)
де
позначає узагальнену обернену матрицю для
.