Матриця угрупування

Матриця угрупування — лінеаризація рівнянь Лотки-Вольтерри в стаціонарній точці. Власне число матриці угрупування визначає стабільність в стаціонарній точці.

Рівняння Лотки-Вольтерри мають такий вигляд:

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=x(\alpha -\beta y)\\{\frac {dy}{dt}}&=-y(\gamma -\delta x),\end{aligned}}$${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=x(\alpha -\beta y)\\{\frac {dy}{dt}}&=-y(\gamma -\delta x),\end{aligned}}$

де x(t) визначає число хижаків, y(t) число жертв, іα, β, γ and δ — константи. Лінеаризація цих диференціальних рівнянь в стаціонарній точці (x*, y*) має вигляд

${\begin{bmatrix}{\frac {du}{dt}}\\{\frac {dv}{dt}}\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}},$${\begin{bmatrix}{\frac {du}{dt}}\\{\frac {dv}{dt}}\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}},$

де u = x − x* і v = y − y*. Матриця A називаєтья мартицею угрупування. Якщо A має власні числа з позитивнми дійсними значеннями, стаціонарний стан є нестабільним, але якщо усі власні числа приймають негативні дійсні значення, то стаціонарний стан є стабільним.

Посилання

• Murray, James D. (2002). Mathematical Biology I. An Introduction. Interdisciplinary Applied Mathematics 17 (вид. 3rd). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95223-9. .