Матроїд

Матроїд — класифікація підмножин деякої множини, що являє собою узагальнення ідеї незалежності елементів, аналогічно незалежності елементів лінійного простору, на довільну множину.

Аксіоматичне визначення

Матроїд — пара $(X,I)$, де $X$ — скінченна множина, звана носієм матроїда, а $I$ — деяка множина підмножин $X$, звана сімейством незалежних множин, тобто $I\subset$ $2^{X}$. При цьому повинні виконуватися наступні умови:

1. $\varnothing \in I$
2. Якщо $A\in I$ та $B\subset A$, то $B\in I$
3. Якщо $A,B\in I$ і потужність A більша потужності B, то існує $x\in A\setminus B$ такий, що $B\cup \{x\}\in I$

Базами матроїда називаються максимальні по включенню незалежні множини. Підмножини $X$, які не належать $I$, називаються залежними множинами. Мінімальні по включенню залежні множини називаються циклами матроїда, це поняття використовується в альтернативному визначенні матроїда.

Визначення у термінах циклів

Матроїд — пара $(X,C)$, де $X$ — носій матроїда, а $C$ — сімейство непустих підмножин $X$, зване множиною Циклів матроїда, для яких виконуються наступні умови:

1. Жоден цикл не є підмножиною іншого.
2. Якщо $x\in C_{1}\cap C_{2}$, то $C_{1}\cup C_{2}\setminus \{x\}$ містить цикл.

Визначення у термінах правильного замикання

Нехай $(P,\leq )$ — частково впорядкована множина. $H:P\to P$ — замикання в $(P,\leq )$, якщо

1. Для будь-якого x з P: $H(x)\geq x$
2. Для будь-яких x,y з P: $x\leq y\Rightarrow H(x)\leq H(y)$
3. Для будь-якого x з P: $H\left(H\left(x\right)\right)=H(x)$

Розглянемо $(P,\leq )=(2^{S},\leq )$ випадок, коли частково впорядкована множина — булева алгебра. Нехай $A\to H(A)$ — замикання$A\subset S$.

1. Замикання правильне (аксіома правильного замикання), якщо $(p\not \in A,p\in H(A\cup \left\{q\right\}))\Rightarrow q\in H(A\cup \left\{p\right\})$
2. Для будь-якого $A\subset S$ існує таке $B\subset A$, що
   1. $|B|<+\infty$
   2. $H\left(B\right)=H\left(A\right)$

Пара $(S,A\to H(A))$, де $A\to H(A)$ — правильне замикання на $(2^{S},\leq )$, називається матроїдом.

Приклади

1. Універсальний матроїд U_nk. Множина X має потужність n, незалежними множинами є підмножини потужністю не більше k. Бази — підмножини потужністю k.
2. Матроїд циклів графу. Множина X — множина ребер графу, незалежні множини — ациклічні підмножини цих ребер, цикли — прості цикли графу. Базами є кістякові дерева графу. Матроїд називається 'графічним', якщо він є матроїдом циклів деякого графу.
3. Матроїд підмножин множини ребер графу, таких що видалення підмножини залишає граф зв'язним.
4. Матроїд коциклів графу. Множина X — множина ребер, коцикли — мінімальні множини, видалення яких призводить до втрати зв'язності графу. Матроїд називається 'кографічним', якщо він є матроїдом коциклів деякого графу.
5. Матричний матроїд. Сімейство всіх лінійно незалежних підмножин будь-якої скінченної множини векторів довільного непорожнього векторного простору є матроїдом.

Визначимо множину E, як таку, що складається з {1, 2, 3, .., n} — номерів стовпців деякої матриці, а множину I, як таку, яка складається з підмножин E, таких що вектори, які визначаються ними, є лінійно незалежними над полем дійсних чисел R. Виникає питання — якими властивостями володіє побудована множина I?

1. Множина I — непорожня. Навіть якщо вихідна множина E була б порожньою — E = ∅, то I буде складатися з одного елемента — множини, що містить порожню множину I = ∅.
2. Будь-яка підмножина будь-якого елемента множини I також буде елементом цієї множини. Ця властивість зрозуміла — якщо деякий набір векторів лінійно незалежний над полем, то лінійно незалежним буде також будь-який його піднабір.
3. Якщо A, B ∈ I, причому|A|=|B|+ 1, тоді існує елемент x ∈ A — B, такий що B ∪ {x} ∈ I.

Доведемо, що в розглянутому прикладі множина лінійно незалежних стовпців дійсно є матроїдом. Для цього достатньо довести третю властивість з визначення матроїда. Проведемо доведення методом від протилежного.

Доведення. Нехай A, B ∈ I і |A|=|B|+ 1. Нехай W буде простором векторів, які охоплюють A ∪ B. Зрозуміло, що його розмірність буде не меншою від |A|. Припустимо, що B ∪ {x} буде лінійно залежною для всіх x ∈ A — B (тобто третя властивість не буде виконуватися). Тоді B утворює базис у просторі W. З цього випливає, що|A|≤ dim W ≤|B|. Але, так як за умовою A і B складаються з лінійно незалежних векторів і |A|>|B|, одержуємо суперечність. Така множина векторів буде матроїдом.

Додаткові поняття

• Двоїстим до даного матроїду називається матроїд, носій якого збігається з носієм даного матроїда, а бази — з доповненням баз даного матроїда до носія. Тобто X^* = X, а безліч баз двоїстого матроїда — це множина таких B^*, що B^* = X\B, де B — база даного матроїда.
• Циклом в матроїді називається така множина A ⊂ X, що A ∉ I, і для будь-якого B ⊂ A, якщо B ≠ A, то B ∈ I
• Рангом матроїда називається потужність його баз. Ранг тривіального матроїда дорівнює нулю.

Матроїд Фано

Матроїд Фано

Матроїди з невеликим числом елементів часто зображують у вигляді діаграм. Точки — це елементи основної множини, а криві «протягнуті» через кожен трьохелементний ланцюг (3-element circuit). Діаграма показує 3-ранговий матроїд, званий матроїдом Фано, приклад якого з'явився в 1935 в статті Уїтні (Whitney).

Назва виникла з того факту, що матроїд Фано являє собою проективну площину другого порядку, відому як площина Фано, чиє координатне поле — це двохелементне поле. Це означає, що матроїд Фано — це векторний матроїд, пов'язаний з сімома ненульовими векторами в тривимірному векторному просторі над полем двох елементів.

З проективної геометрії відомо, що матроїд Фано не може бути представлений довільною множиною векторів в дійсному або комплексному векторному просторі (або в будь-якому векторному просторі над полем, характеристики якого відрізняються від 2).

Теореми

• Всі бази матроїда мають однакову потужність.
• Матроїд однозначно задається носієм і базами.
• Цикл не може бути підмножиною іншого циклу
• Якщо $C_{1}$ і $C_{2}$ — цикли, то для будь-якого $x\in C_{1}\cap C_{2}:C_{1}\cup C_{2}\setminus \{x\}$ містить цикл
• Якщо $B$ — база і $x\notin B$, то $B\cup \{x\}$ містить рівно один цикл.

Застосування

• Матроїди добре описують клас задач, які допускають «жадібне» рішення. Див. жадібний алгоритм Радо-Едмондса.
• Матроїди в комбінаторній оптимізації.

Див. також

• Орієнтований матроїд
• Критерій планарності Вітні