Метод Гауса — Жордана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Метод Гауса — Жордана використовується для розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь, знаходження оберненої матриці, знаходження координат вектора у заданому базисі, відшукання рангу матриці. Метод є модифікацією методу Гауса. Названий на честь Гауса та німецького математика та геодезиста Вільгельма Йордана.

Алгоритм[ред.ред. код]

  1. Обирається перша зліва колонка, що містить хоч одне ненульове значення.
  2. Якщо верхнє число у цій колонці - нуль, то обмінюється увесь перший рядок матриці з іншим рядком матриці, де у цій колонці нема нуля.
  3. Усі елементи першого рядка діляться на верхній елемент обраної колонки.
  4. Від рядків, що залишились, віднімається перший рядок, помножений на перший елемент відповідного рядка, з метою отримання у якості першого елемента кожного рядка (крім першого) нуля.
  5. Далі, повторюємо ці операції із матрицею, отриманою з початкової матриці після викреслювання першого рядка та першого стовпчика.
  6. Після повторення операцій n-1 разів отримаємо верхню трикутну матрицю.
  7. Віднімаємо від передостаннього рядка останній рядок, помножений на відповідний коефіцієнт, щоб у передостанньому рядку залишилась лише 1 на головній діагоналі.
  8. Повторюємо попередній крок для наступних рядків. У результаті отримуємо одиничну матрицю і рішення на місці вільного вектора (над ним необхідно виконувати ті самі перетворення).

Розгорнутий алгоритм для знаходження оберненої матриці[ред.ред. код]

Нехай дано:

Прямий хід (алгоритм утворення нулів під головною діагоналлю)[ред.ред. код]

  • Поділимо перший рядок матриці А на отримаємо: , j – стовпець матриці А.
  • Повторюємо дії для матриці I , за формулою: , s – стовпець матриці I

Отримаємо:

  • Будемо утворювати 0 у першому стовбці : .
  • Повторюємо дії для матриці І, за формулами :

Отримаємо:

  • Продовжуємо виконувати аналогічні операції використовуючи формули :

при умові, що

  • Повторюємо дії для матриці І, за формулами :

при умові, що
Отримаємо :

Зворотній хід (алгоритм утворення нулів над головною діагоналлю)[ред.ред. код]

Використаємо формулу: , при умові, що
Повторюємо дії для матриці І, за формулою : , при умові, що

Остаточно отримуємо :

Приклад[ред.ред. код]

Розв'яжемо систему рівнянь:

Запишемо її у вигляді матриці 3×4, де останній стовпчик є вільним членом:

Виконаємо такі дії:

  • До рядка 2 додамо: -4 * рядок 1.
  • До рядка 3 додамо: -9 * рядок 1.

Отримаємо:

  • До рядка 3 додамо: -3 * рядок 2.
  • Рядок 2 ділимо на -2
  • До рядка 1 додамо: -1 * рядок 3.
  • До рядка 2 додамо: -3/2 * рядок 3.
  • До рядка 1 додамо: -1 * рядок 2.

У правому стовпчику отримаємо рішення:

.

Джерела[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]