Метод Гауса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ме́тод Га́уса — алгоритм розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Початок алгоритму.

Прямий хід: Шляхом елементарних перетворень рядків (додавань до рядка іншого рядка, помноженого на число, і перестановок рядків) матриця приводиться до верхньотрикутного вигляду(ступінчатого вигляду).

З цього моменту починається зворотний хід.

З останнього ненульового рівняння виражаємо кожну з базисних змінних через небазисні і підставляємо в попередні рівняння. Повторюючи цю процедуру для всіх базисних змінних, отримуємо фундаментальний розв'язок.

Приклад[ред.ред. код]

Запишемо розширену матрицю системи

Допустимі операції для кожного рядка[ред.ред. код]

  • перестановка рядків;
  • множення та ділення на число (окрім нуля);
  • додавання та віднімання іншого рядка (можливо помноженого чи поділеного на число).

Мета цих дій — звести квадратну матрицю, в цьому прикладі розміру 3х3, (розташована зліва від вертикальної лінії) до одиничної матриці. Тоді стовпчик справа від лінії і буде розв'язком системи рівнянь.

Алгоритм прямого ходу[ред.ред. код]

Перебираємо стовпчики матриці і здійснюємо рядкові операції, щоб у кожному стовпчику:

  • діагональний елемент став рівним одиниці;
  • елементи під діагональним стали рівними нулю.

Ділимо перший рядок на 2, щоб отримати 1 як перший діагональний елемент:

Додаємо до другого рядка перший, помножений на 3, щоб отримати піддіагональний елемент 0:

Додаємо до третього рядка перший, помножений на 2, щоб отримати другий піддіагональний елемент 0:

Переходимо до наступного стовпчика. Множимо другий рядок на 2, щоб отримати другий діагональний елемент 1:

Віднімаємо від третього рядка другий, помножений на 2, щоб отримати піддіагональний елемент 0:

Переходимо до наступного стовпчика. Множимо останній рядок на −1, щоб отримати третій діагональний елемент 1:

Алгоритм зворотного ходу[ред.ред. код]

Перебираємо стовпчики матриці у зворотному порядку і здійснюємо рядкові операції, щоб у кожному стовпчику елементи над діагональним стали рівними нулю.

Віднімаємо від другого рядка третій, щоб отримати наддіагональний елемент 0:

Додаємо до першого рядка третій, поділений на 2, щоб отримати другий наддіагональний елемент 0:

Переходимо до наступного стовпчика. Віднімаємо від першого рядка другий, поділений на 2, щоб отримати наддіагональний елемент 0:

Див. також[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.