Обернена матриця

Обернена матриця — матриця (позначається $\ A^{-1}$), яка існує для кожної невиродженої квадратної матриці$\ A$, розмірності $\ n\times n$, причому:

$\ AA^{-1}=A^{-1}A=I_{n}$

де $\ I_{n}$ одинична $\ n\times n$ матриця.

Якщо для матриці $\ A$ існує $\ A^{-1}$, то така матриця називається оборотною, тобто кожна невироджена матриця є оборотною, і навпаки — кожна оборотна матриця є невиродженою.

Властивості

• $(\mathbf {A} ^{-1})^{-1}=\mathbf {A}$ — операція обернення є інволюцією.
• $(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }$ — обернення транспонованої матриці
• $(\mathbf {A} ^{*})^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{*}$ — обернення спряженої матриці
• $(k\mathbf {A} )^{-1}=k^{-1}\mathbf {A} ^{-1}$ для довільного коефіцієнта $k\not =0.$
• $(\mathbf {AB} )^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} ^{-1}$
• $\det(\mathbf {A} ^{-1})=\det(\mathbf {A} )^{-1}$ — визначник оберненої матриці.
• $\operatorname {rang} (A)=n$ — ранг матриці дорівнює розміру матриці.
• Власні вектори матриці та її оберненої — збігаються, а власні значення є оберненими.
• Якщо потрібно розв'язати систему лінійних рівнянь $Ax=b$, (b — ненульовий вектор) і $A^{-1}$ існує, тоді $x=A^{-1}b$. В протилежному випадку або розмірність простору розв'язків більше нуля, або їх немає зовсім.

Знаходження оберненої матриці

Точні методи

• Метод Гауса — Жордана
• LU розклад матриці
• ${A}^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\tilde {A}}$

де ${\tilde {A}}$ — союзна матриця.

Ітераційні методи

...

Приклади

$A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det A}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}.$

Обернена матриця існує тоді і тільки тоді, коли $ad-bc=\det A\neq 0$.

$A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&k\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det A}}{\begin{bmatrix}ek-fh&ch-bk&bf-ce\\fg-dk&ak-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{aek+bfg+cdh-ceg-bdk-afh}}{\begin{bmatrix}ek-fh&ch-bk&bf-ce\\fg-dk&ak-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\\\end{bmatrix}}.$

Обернена матриця існує тоді і тільки тоді, коли $aek+bfg+cdh-ceg-bdk-afh=\det A\neq 0$.

Див. також

• Теорія матриць
• Псевдообернена матриця
• Обернення блочної матриці

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
• Р.Хорн, Ч.Джонсон. Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
• Обернена матриця // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 24. — 594 с.