Метод прямокутників

Метод центральних прямокутників

Метод прямокутників — найпростіший метод чисельного інтегрування, що полягає у заміні значень функції на проміжку значенням функції в деякій точці проміжку.

Види формули прямокутників

Ліва сума Рімана x ↦ x³, 4 прямокутники на [0, 2].

Формула лівих прямокутників

У цьому випадку береться значення функції на початку проміжку:

$\int _{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f\left(a\right).$

Похибка обчислення рівна: $E(f)={\frac {(b-a)^{2}}{2}}f'(\eta ),\quad \eta \in [a,b]$

Права сума Рімана x ↦ x³ 4 прямокутники на [0, 2]

Формула правих прямокутників

У цьому випадку береться значення функції в кінці проміжку:

$\int _{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f\left(b\right).$

Як і в попередньому випадку похибка обчислень рівна: $E(f)={\frac {(b-a)^{2}}{2}}f'(\eta ),\quad \eta \in [a,b]$

Центральна сума Рімана x ↦ x³ 4 прямокутники на [0, 2].

Формула центральних прямокутників

Ця формула має вид:

$\int _{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right).$

Похибка обчислень рівна: $E(f)={\frac {(b-a)^{3}}{24}}f''(\eta ),\quad \eta \in [a,b]\,$

Великі формули прямокутників

Для збільшення точності обчислень проміжок інтегрування розбивається на дрібніші проміжки до кожного з яких застосовується формула прямокутників. Загалом кількість проміжків розбиття рівна n і Δ = (b − a) / n то велика формула прямокутників має вигляд:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}f(a+i'\Delta )\Delta$

де $i'$ може бути рівним $i-1$, $i$ чи $i-1/2,$ що відповідає формулам лівих, правих і центральних прямокутників.

Похибка великої формули центральних прямокутників задовольняє нерівність:

$E(f)\leq {\frac {\Delta ^{2}(b-a)}{24}}f''(\eta ),\quad \eta \in [a,b]\,$

• 
  Ліві прямокутники
• 
  Праві прямокутники
• 
  Середні прямокутники

Див. також

• Сума Рімана

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 2000+ с.(укр.)
• М. Я. Лященко, М. С. Головань. Чисельні методи: Підручник. — К.: : Либідь, 1996. — 288 с.(укр.)
• Формула прямокутників // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 448. — 594 с.