Метод Сімпсона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Метод Сімпсона одержується за допомогою інтерполяції функції f(x) (блакитний колір) квадратичним многочленом P(x) (червоний колір).

Метод Сімпсона є одним із методів чисельного інтегрування. Названий на честь британського математика Томаса Сімпсона (1710—1761).

Формула[ред.ред. код]

Формулою Сімпсона називається інтеграл від інтерполяційного многочлена другого степеня на відрізку :

де , і — значення функції у відповідних точках .

Похибка[ред.ред. код]

При умові, що функція на відрізку має похідну четвертого порядку, похибка , дорівнює:

Зважаючи, що значення переважно не є відомим, для оцінки похибки використовується нерівність:

Виведення формули[ред.ред. код]

Формула Сімпсона може бути виведена за допомогою багатьох різних способів.

Квадратична інтерполяція[ред.ред. код]

Якщо замінити функцію квадратичним поліномом що приймає ті ж значення що й у точках a,b і m = (a+b) / 2. використавши інтерполяційну формулу Лагранжа, то одержимо формулу:

Після необхідних обчислень одержуємо:

Використання методів прямокутників і трапецій[ред.ред. код]

У цьому способі виведення використовуються метод прямокутників:

і метод трапецій:

Похибки цих наближень дорівнюють

і

відповідно. Звідси випливає, що аби позбутися третього степеня слід взяти для наближення величину

Однак таким чином одержується формула Сімпсона.

Метод невизначених коефіцієнтів[ред.ред. код]

Запишемо в загальному виді:

Коефіцієнти α, β і γ можуть бути знайдені з вимоги, що дане наближення є точним для всіх многочленів другого степеня. Таким чином знову ж одержується метод Сімпсона.

Ітераційна формула[ред.ред. код]

Для точнішого обчислення інтеграла проміжок розбивають на відрізків однакової довжини і застосовують формулу Сімпсона на кожному з них. Значення інтеграла є сумою для всіх відрізків.

де величина кроку, а межі відрізків.

Загальну похибку при інтегруванні на відрізку з кроком визначають за формулою:

.

При неможливості оцінити похибку за допомогою четвертої похідної можна використати слабшу оцінку:

.

Приклади реалізації[ред.ред. код]

Реалізація на C#:

using System;

namespace NumericIntgeration
{
    internal class Program
    {
        private delegate double Func(double x);

        private static void Main()
        {
            const int n = 10000;
            double result = SimpsonMethod(0.0, 2.0, n, x => x * Math.Exp(Math.Sqrt(x)));
            Console.WriteLine("x = {0}", result);

            Console.ReadKey();
        }
        private static double SimpsonMethod(double a, double b, int n, Func func)
        {
            double h = (b - a) / n;
            double s = (func(a) + func(b)) * 0.5;
            for (int i = 1; i <= n - 1; i++)
            {
                double xk = a + h * i; //xk
                double xk1 = a + h * (i - 1); //Xk-1
                s += func(xk) + 2 * func((xk1 + xk) / 2);
            }
            var x = a + h * n; //xk
            var x1 = a + h * (n - 1); //Xk-1
            s += 2 * func((x1 + x) / 2);

            return s * h / 3.0;
        }
    }
}

Див. також[ред.ред. код]