Модулі ріманової поверхні

Модулі ріманової поверхні — чисельні характеристики (параметри), одні й ті самі для всіх конформно еквівалентних ріманових поверхонь, що разом характеризують конформний клас еквівалентності даної ріманової поверхні.

Мотивація

Необхідною умовою конформної еквівалентності двох плоских областей є однакова зв'язність цих областей. Відповідно до теореми Рімана всі однозв'язні області з більш ніж однією граничною точкою конформно еквівалентні одна одній: кожну таку область можна конформно відобразити на одну й ту саму канонічну область, якою зазвичай розглядають одиничне коло. Для областей зв'язності $n$, $n>2$, Точного еквіваленту теореми Рімана не існує: не можна вказати якусь фіксовану область, на яку можна однолисто і конформно відобразити всі області даного порядку зв'язності. Це привело до гнучкішого визначення канонічної $n$-зв'язної області, що вказує на загальну геометричну структуру цієї області, але не фіксує її модулів.

Приклади

• Конформні класи компактних ріманових поверхонь роду $g>1$ характеризуються $6g-6$ дійсними модулями;
• тор ($g=1$) характеризується двома модулями;
• $n$-зв'язна плоска область, що розглядається як ріманова поверхня з краєм, при $n>3$ характеризується $3n-6$ модулями;
• кожну двозв'язну область $D$ площини $z$ з невиродженими граничними континуумами можна конформно відобразити на деяке кругове кільце

$r<|z|<R$, $0<r<R<\infty$ .

Відношення $R/r$ радіусів граничних кіл цього кільця є конформним інваріантом і називається модулем двозв'язної області $D$.

Див. також

• Простір модулів

Література

• Модули римановой поверхности — стаття з МЭ. Г. В. Кузьмина, Е. Д. Соломенцев.