Простір модулів

Простір модулів у алгебричній геометрії — геометричний простір (наприклад, схема, комплексний або алгебричний простір), точки якого відповідають деякому класу алгебро-геометричних об'єктів $A$, факторизованому за деяким відношенням еквівалентності $R$. Такі простори часто виникають як розв'язки класифікаційних задач: якщо множина об'єктів, що цікавлять нас (наприклад, гладких кривих алгебраїчних роду $g$, що розглядаються з точністю до ізоморфізму), можна забезпечити структурою геометричного простору, можна параметризувати дані об'єкти, ввівши координати на цьому просторі. У цьому контексті термін «модулі» синонімічний терміну «параметри»: простори модулів спочатку розумілися як простори параметрів, а не простори об'єктів.

Історія

Теорія модулів виникла під час вивчення еліптичних функцій: існує сімейство різних полів еліптичних функцій (або їх моделей — неізоморфних еліптичних кривих над $\mathbb {C}$), параметризоване комплексними числами. Бернгард Ріман, якому належить і сам термін «модулі», показав, що компактні ріманові поверхні роду $g\geqslant 2$ залежать від $3g-3$ комплексних параметрів — модулів.

Визначення

Нехай $S$ — деяка схема (комплексний або алгебричний простір). Сімейство об'єктів, параметризоване схемою $S$ (або, як часто кажуть, над $S$ або з базою $S$) — це набір об'єктів $\{X_{s}|s\in S,X_{s}\in A\}$, з додатковою структурою, узгодженою зі структурою бази $S$. Цю структуру в кожному конкретному випадку задають явно. Функтор модулів (або функтор сімейств) — це контраваріантний функтор ${\mathcal {M}}$ із категорії схем (або просторів) у категорію множин, що визначається так: ${\mathcal {M}}(S)$ — множина класів ізоморфних сімейств над $S$, а морфізму $f:S\to T$ зіставляється відображення $f^{*}:{\mathcal {M}}(T)\to {\mathcal {M}}(S)$ за допомогою взяття індукованого сімейства.

Якщо функтор модулів ${\mathcal {M}}$ зображуваний за допомогою схеми (або простору) $M$, то $M$ називають тонким простором модулів для функтора ${\mathcal {M}}$. У цьому випадку існує універсальне сімейство $U$ з базою $M$, тобто довільне сімейство $T$ з базою $S$ індукується сімейством $U$ за допомогою єдиного відображення $f:S\to M$.

Функтор модулів є зображуваним у дуже небагатьох випадках, тому запроваджено також поняття грубого простору модулів. Схему $M$ називають грубим простором модулів для функтора ${\mathcal {M}}$, якщо існує натуральне перетворення $\varphi :{\mathcal {M}}\to \mathrm {Hom} (\cdot ,M)$, таке, що

1. якщо $K$ — алгебрично замкнуте поле, то відображення $\varphi (\mathrm {Spec} \,K):{\mathcal {M}}(\mathrm {Spec} \,K)\to \mathrm {Hom} (\mathrm {Spec} \,K,M)$ бієктивне;
2. для довільної схеми $M'$ та природного перетворення $\varphi ':{\mathcal {M}}\to \mathrm {Hom} (\cdot ,M')$ існує єдиний морфізм $\pi :M\to M'$, такий, що для асоційованого природного перетворення $\Pi :\mathrm {Hom} (\cdot ,M)\to \mathrm {Hom} (\cdot ,M')$ виконується $\varphi =\Pi \circ \varphi '$.

Інтуїтивно, замкнуті точки грубої схеми модулів відповідають елементам $A/R$, а геометрія цієї схеми відбиває те, як об'єкти класу $A$ можуть змінюватись у сімействах. З іншого боку, над грубою схемою модулів може не існувати універсального сімейства.

Приклади

Криві

Нехай $A/R=\mathbf {M} _{g}$ (відповідно, ${\overline {\mathbf {M} _{g}}}$) — множина класів ізоморфних проєктивних гладких зв'язних кривих (відповідно, стабільних кривих) роду $g\geqslant 2$ над алгебрично замкнутим полем $K$. Сімейство над $S$ — це гладкий (плоский) власний морфізм $f:X\to S$, шарами якого є гладкі (стабільні) криві роду $g$. Тоді існує груба схема модулів $M_{g}$ (відповідно, ${\overline {M_{g}}}$), що є квазіпроєктивним (проєктивним) незвідним і нормальним многовидом над $K$.

Векторні розшарування

Нехай $A/R$ — множина класів ізоморфних векторних розшарувань рангу $n$ на алгебричному многовиді $X$. Сімейство над $S$ — це векторне розшарування на $X\times S$. У випадку, коли $X$ — це неособлива проєктивна крива над алгебрично замкнутим полем, існує нормальний проєктивний многовид ${\overline {M_{d,n}}}$, який є грубим простором модулів напівстабільних векторних розшарувань рангу $n$ та степеня $d$ на $X$. Стабільні векторні розшарування параметризуються відкритим гладким многовидом $M_{d,n}\subset {\overline {M_{d,n}}}$. Якщо $d$ і $n$ взаємно прості, $M_{d,n}$ збігається з ${\overline {M_{d,n}}}$ і є тонким простором модулів.

Література

• Модулей теория — стаття з МЭ. В. А. Исковских
• Дж. Харрис, Я. Моррисон. Модули кривых. Вводный курс / пер. с англ. под ред. С. К. Ландо. — М. : Мир, 2004.
• К. Оконек, М. Шнайдер, Х. Шпиндлер. Векторные расслоения на комплексных проективных пространствах / пер. с англ. под ред. Ю. И. Манина. — М. : Мир, 1984.