Ріманова поверхня

Ріманова поверхня ƒ(z) = √z

Ріманова поверхня — традиційна в комплексному аналізі назва 1-вимірного комплексного многовиду. Такі поверхні почав систематично вивчати Бернгард Ріман. Прикладами ріманових поверхонь є комплексна площина і сфера Рімана.

Визначення

Зв'язний гаусдорфів топологічний простір R називається рімановою поверхнею, якщо на ньому можна задати покриття відкритими множинами $(U_{\alpha })_{\alpha \in A}$ причому кожній множині $\ U_{\alpha }$ відповідає гомеоморфне відображення $\varphi _{\alpha }$ із множини $\ U_{\alpha }$ у деяку відкриту підмножину комплексної площини, причому якщо перетин $\ U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ є непустою множиною, то функція:

$\varphi _{\alpha ,\beta }:\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta }),\quad \varphi _{\alpha ,\beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}.$

є голоморфною. Множина $(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })_{\alpha \in A}$ при цьому називається атласом, а її елементи картами. Якщо даний топологічний простір є також компактним, то ріманова поверхня називається компактною або замкнутою

Приклади

Сфера Рімана.

• Комплексна площина $\mathbb {C}$ є одним із найпростішим прикладів ріманової поверхні. Одиничне відображення $\varphi (z)=z$ визначає карту на множині $\mathbb {C}$, і $\mathbb {C} ,\varphi$ є необхідним атласом. Відображення $\varphi (z)={\overline {z}}$ (комплексне спряження) також визначає атлас на $\mathbb {C}$. Дані атласи не є еквівалентними.

• Подібним чином кожна відкрита множина комплексної площини є рімановою поверхнею.

• Нехай ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \},\;\varphi _{1}(z)=z$ де $z\in {\widehat {\mathbb {C} }}\setminus \{\infty \}$ і $\varphi _{2}(z)={\frac {1}{z}}$ де $z\in {\widehat {\mathbb {C} }}\setminus \{0\}$. Тоді $\varphi _{1},\varphi _{2}$ із своїми областями визначення визначають атлас. Множина ${\widehat {\mathbb {C} }}$ з визначеною таким чином комплексною структурою є компактною рімановою поверхнею гомеоморфною сфері. Дана поверхня називається рімановою сферою.

Тор

• Теорія поверхонь Рімана є еквівалентною теорії несингулярних алгебраїчних кривих над комплексними числами. Наприклад тор $\mathbb {C} /(\mathbb {Z} \oplus \tau Z''')$, де τ комплексне число, що не є дійсним, відповідає через еліптичну функцію Вейєрштрасса деякій еліптичній кривій.
• Важливі приклади некомпактних ріманових поверхонь дають аналітичні продовження.

• 
  $f(z)=\arcsin z,\!$
• 
  $f(z)=\log z,\!$
• 
  $f(z)=z^{\frac {1}{2}}$
• 
  $f(z)=z^{\frac {1}{3}}$
• 
  $f(z)=z^{\frac {1}{4}}$

Див. також

• Диференціал Абеля
• Многовид
• Теорема Рімана — Роха
• Фуксова модель
• Поверхня Больци
• Модулі ріманової поверхні

Література

• Форстер О. Римановы поверхности. М: Мир, 1980 247 ст.
• Farkas, Hershel M.; Kra, Irwin (1980), Riemann Surfaces (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90465-8