Мінімальний многочлен (теорія полів)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В теорії полів, мінімальний многочлен — це визначений щодо розширення поля E/F і елемента з E. Мінімальний многочлен елемента, якщо він існує, це член кільця поліномів F[x], від змінної x з коефіцієнтами в F. Для елемента \alpha \in E, нехай  J_{\alpha} буде множиною всіх многочленів f(x) \in F[x] таких, що f(\alpha)=0. Елемент \alpha називається коренем або нулем кожного многочлена в J_{\alpha}. Ми так називаємо множину J_{\alpha}, бо це ідеал F[x]. Нульовий многочлен, всі коефіцієнти якого 0, є в кожному J_{\alpha}, бо 0 \alpha^i = 0, \forall \alpha, i. Це робить нульовий многочлен непридатним для класифікації різних значень \alpha за типами, отже його виключаємо. Якщо існує будь-який ненульовий многочлен в J_{\alpha}, тоді \alpha називається алгебраїчним елементом над F, і існує нормований, зі старшим коефіцієнтом 1, найменшого степеня в J_{\alpha} многочлен. Це і є мінімальний многочлен для \alpha щодо E/F. Він унікальний і незвідний над F. Якщо єдиним членом J_{\alpha} є нульовий многочлен, тоді \alpha називають трансцендентним елементом над F і воно не має мінімального многочлена щодо E/F.

Мінімальний многочлен корисний для побудови й аналізу розширень полів. Коли \alpha є алгебраїчним з мінімальним многочленом a(x), найменше поле, яке містить і F, і \alpha ізоморфне до фактор-кільця F[x]/\langle a(x)\rangle, де \langle a(x)\rangle є ідеалом F[x] утвореним a(x). Мінімальні многочлени також використовуються для означення спряжених елементів.

Приклади[ред.ред. код]

Якщо F = Q, E = R, α = √2, тоді мінімальний многочлен для α це a(x) = x2 − 2. Базове поле F важливо тим, що воно визначає можливі коефіцієнти для a(x). Наприклад, якщо взяти F = R, тоді мінімальним многочленом для α = √2 є a(x) = x − √2.

Якщо α = √2 + √3, тоді мінімальний многочлен в Q[x] це a(x) = x4 − 10x2 + 1 = (x − √2 − √3)(x + √2 − √3)(x − √2 + √3)(x + √2 + √3).

Посилання[ред.ред. код]