Нерівність Бонсе

В теорії чисел, нерівністю Бонсе називається нерівність для простих чисел, доведена Бонсе у 1907 році.

Твердження

Якщо $p_{n}$ позначає $n$-не просте число, то

$p_{n+1}^{2}<p_{1}p_{2}...p_{n}$

для $n>3$.

З використанням цієї нерівності, Бонсе довів, що 30 є найбільшим цілим числом $n$ із такою властивістю: якщо натуральне число $k$, де $1<k<n$ є взаємно простим із $n,$ тобто $(n,k)=1$, то $k$ є простим числом.

Бонсе також довів сильнішу нерівність:

$p_{n+1}^{3}<p_{1}p_{2}...p_{n}$

для $n>5$.

Натомість слабша нерівність:

$p_{n+1}<p_{1}p_{2}...p_{n}$

негайно випливає із доведення Евклідом нескінченності простих чисел.

Приклади

Прикладами для найменших чисел є

${121=11^{2}<2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210}$

${169=13^{2}<2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310}$

${289=17^{2}<2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13=30030}$

${361=19^{2}<2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17=510510}$

Доведення

За допомогою постулата Бертрана

Просте доведення нерівності можна дати за допомогою постулата Бертрана (проте воно не є елементарним через використання постулату). Послідовні прості числа задовольняють нерівність $p_{n+1}<2p_{n}.$ Якщо тепер припустити $p_{n}^{2}<p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{n-1},$ то з використанням нерівності із постулату Бертрана

$p_{n+1}^{2}<4p_{n}^{2}<4\cdot p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{n-1}<p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{n},$

оскільки $p_{n}>4$ для $n>2.$

Оскільки нерівність Бонсе виконується для $n=4,$ то методом математичної індукції вона виконується і для всіх більших натуральних чисел.

Елементарне доведення

Нерівність була доведена простими підрахунками для $n=4,5,6,7.$

Позначимо $m=\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor$ — цілу частину числа. Очевидно $n\geqslant 2m$ і для $n\geqslant 8$ також $n-m+1<p_{m}.$ Дійсно, для другої нерівності $n-m+1\leqslant m+2<p_{m},$ де остання нерівність очевидно виконується для всіх $m\geqslant 4.$

Позначимо $t=p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{m-1}$ і $S=\{t-1,2t-1,\ldots ,p_{m}t-1\}.$ Нехай елементи $r_{1}t-1$ і $r_{2}t-1$ множини $S$ діляться на просте число $p_{m+i},\ i\in \{0,1,\ldots n-m\}.$ Тоді $p_{m+i}|t(r_{1}-r_{2}),$ що неможливо. Тобто жодне із простих чисел $p_{m},\ldots ,p_{n}$ не ділить більше одного із чисел множини $S.$ Оскільки $n-m+1<p_{m},$ то цих простих чисел є менше, ніж елементів множини $S.$Відповідно існує число $rt-1\in S,$ що не ділиться на жодне із простих чисел $p_{1},\ldots \cdot p_{n},$ а тому воно ділиться на якесь більше просте число і зокрема є не меншим, ніж $p_{n+1}.$

Враховуючи все це маємо:

$p_{n+1}\leqslant rt-1=r\cdot p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{m-1}-1<p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{m},$

а тому:

$p_{n+1}^{2}<(p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{m})\cdot (p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{m})<p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{2m}\leqslant p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{n},$

що і завершує доведення.

Посилення і подібні нерівності

Долезман у 2000 році довів що

$p_{n+1}p_{n+2}<p_{1}p_{2}...p_{n}$

для $n>3$.

Шандор у 1988 році показав, що:

$p_{n+5}^{2}+p_{[{\frac {n}{2}}]}^{2}<p_{1}p_{2}...p_{n}$

для $n>23$.

Поса у 1960 році довів, що для кожного $k>1$, існує $n_{k}$ для якого:

$p_{n+1}^{k}<p_{1}p_{2}...p_{n}$

для $n\geq n_{k}$.

Панаітополь довів у 2000 році що:

$p_{n+1}^{n-\pi (n)}<p_{1}p_{2}...p_{n}$

де $\pi (x)$— функція розподілу простих чисел.

Література

• Uspensky, J. V.; Heaslet, M. A. (1939). Elementary Number Theory. New York: McGraw Hill. с. 87.
• Rademacher, Hans; Toeplitz, Otto (1990). The Enjoyment of Mathematics. Dover. ISBN 978-0-486-26242-0.
• Wells, David (2011), Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, с. 21, ISBN 9781118045718
• Robert J. Betts, Using Бонсе's Inequality to Find Upper Bounds on Prime Gaps, Journal of Integer Sequences, 10, 2007, Versione online.
• G. van Golstein Brouwers, D. Bamberg, J. Cairns, "Totally Goldbach numbers and related conjectures". Australian Mathematical Society Gazette. Vol 31(4) (2004), p. 254. Versione online.
• József Sándor, Geometric Theorems, Diophantine Equations, and Arithmetic Functions, American Research Pres, 2002, ISBN 1-931233-51-9, pp. 238–240. versione online