Ціла частина числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Графік функції або

Ціла частина дійсного числа  — найбільше ціле число, яке не більше ніж . Ціла частина числа зазвичай позначається як .

Графік функції

В інформатиці поряд з функцією ціла частина використовують функції підлога (англ. floor) та стеля (англ. ceiling). Функція підлога позначається як та збігається з цілою частиною, функція стелі позначається як та дорівнює найменшому цілому числу, яке не менше за .

Визначення за допомогою нерівностей такі:

Оскільки в напіввідкритому інтервалі довжини 1 є рівно одне ціле число, то для будь-якого дійсного x існують єдині цілі числа m і n, що задовольняють нерівність

Тоді     і    також можна приймати як означення функцій підлоги та стелі.

Еквівалентності[ред. | ред. код]

Наступні формули можна використовувати для спрощення виразів, що включають функцій підлоги та стелі.[1]

На мові відношень порядку функція підлоги є залишковим відображенням, тобто частиною відповідності Галуа: це верхнє спряження функції, яке вкладує цілі числа в дійсні числа.

Наступні формули показують, як додавання цілих чисел до аргументу впливає на функції:

Вищезазначені формули невірні, якщо n не є цілим числом; однак для будь-яких x, y мають місце наступні нерівності:

Співвідношення між функціями[ред. | ред. код]

З означень випливає, що

  причому рівність можлива, тоді і тільки тоді, коли x - ціле число, тобто

Насправді для цілих чисел n і значення функцій підлоги і стелі збігаються :

Зміна знаку аргументу, міняє місцями функції підлоги та стелі і змінює знак:

і:

Зміна знаку аргументу доповнює дробову частину:

Функції підлоги, стелі та дробової частини є ідемпотентними:

Результатом композиції функцій підлоги та стелі є внутрішня функція:

завдяки властивості тотожності для цілих чисел.

Частки[ред. | ред. код]

Якщо m і n цілі числа, а n ≠ 0, то

Якщо n - натуральне число,[2] то

Якщо m додатне,[3] то

Для m = 2 отримуємо

У загальному випадку,[4] для додатнього m (див.тотожність Ерміта)

Для перетворення між функціями підлоги та стелі можна використати наступні формули (m додатне)[5]

Для всіх натуральних чисел m і n:[6]

яка при додатних [[Взаємно прості числа|взаємнопростих} m і n зводиться до

Оскільки права частина у загального випадку симетрична відносно m і n, то

І нарешті, для додатних m і n,

це співвідношення іноді називають законом взаємності.[7]

Вкладені частки[ред. | ред. код]

Для додатного цілого n і довільних дійсних чисел m, x:[8]

Неперервність та розкладення у ряди[ред. | ред. код]

Жодна з функцій, обговорюваних у цій статті, не є неперервною, але всі - кусково-лінійні: функції , , і мають розриви в цілих числах. Функція є напівнеперервною зверху і функції і - напівнеперервні знизу.

Оскільки жодна з функцій, розглянутих у цій статті, не є неперервною, тому жодна з них не допускає розклад у вигляді степеневих рядів. Оскільки функції підлоги і стелі неперіодичні, то вони не допускають рівномірно збіжних розкладів у вигляді рядів Фур'є. Функція дробової частини має розклад у ряд Фур'є[9]

для x не цілого числа.

У точках розриву ряд Фур'є збігається до значення, яке є середнім його границь зліва та справа, на відміну від функцій підлоги, стелі та дробової частини: для фіксованого y і x кратного y ряд Фур'є дає збіжність до y/2, а не до . У точках неперервності ряд збігається до відповідного значення функції.

З формули отримуємо

для x не цілого числа.

Позначення та приклади[ред. | ред. код]

Для цілої частини числа довгий час використовувалось позначення , введене Гаусом.

В 1962 році Кеннет Айверсон запропонував заокруглення числа до найближчого цілого в меншу і більшу сторони називати «підлога» і «стеля» і позначати і відповідно[10]. У цих позначеннях .

В сучасній математиці вживають обидва позначення, і , однак існує тенденція переходу до термінології і позначенням Айверсона. Одна з причин цього — потенційна неоднозначність поняття «ціла частина числа»[10]. Наприклад, ціла частина числа 2,7 рівна 2, але можливі дві думки на те, як визначити цілу частину числа −2,7. Відповідно до даного в цій статті визначення , однак в деяких калькуляторах наявна функція цілої частини числа INT, для від'ємних чисел визначена як INT(-x) = -INT(x), таким чином INT(-2,7) = −2. В термінології Айверсона відсутні можливі неоднозначності:

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994), Concrete Mathematics, Reading Ma.: Addison-Wesley.
  2. Graham, Knuth, Patashnik, p. 73
  3. Graham, Knuth, Patashnik, p. 85,
  4. Graham, Knuth, Patashnik, p. 85 and Ex. 3.15
  5. Graham, Knuth, Patashnik, Ex. 3.12
  6. J.E. Blazek, Combinatoire de N-modules de Catalan}, Master's thesis, page 17.
  7. Graham, Knuth, Patashnik, p. 94
  8. Graham, Knuth, Patashnik, p. 71, apply theorem 3.10 with x/m as input and the division by n as function
  9. Titchmarsh, p. 15, Eq. 2.1.7
  10. а б Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 88.

Див. також[ред. | ред. код]