Ціла частина числа

Графік функції $y=[x]$ або $y=\lfloor x \rfloor$

Ціла частина дійсного числа $x$ — найбільше ціле число, яке не більше ніж $x$. Ціла частина числа $x$ зазвичай позначається як $[x]$.

Графік функції $y=\lceil x \rceil$

В інформатиці поряд з функцією ціла частина використовують функції підлога (англ. floor) та стеля (англ. ceiling). Функція підлога позначається як $y=\lfloor x \rfloor$ та збігається з цілою частиною, функція стелі позначається як $\lceil x \rceil$ та дорівнює найменшому цілому числу, яке не менше за $x$.

Визначення за допомогою нерівностей такі:

$\lfloor x \rfloor=\max\, \{m\in\mathbb{Z}\mid m\leqslant x\},$

$\lceil x \rceil=\min\,\{n\in\mathbb{Z}\mid n\geqslant x\}.$

Позначення та приклади

Для цілої частини числа $x$ довгий час використовувалось позначення $[x]$, введене Гаусом. Ні поняття функції стеля, ані спеціального позначення для неї не існувало. В 1962 році Кеннет Айверсон продовжив округлення числа $x$ до найближчого цілого в меншу і більшу сторони називати «підлога» і «стеля» $x$ і позначати $\lfloor x \rfloor$ і $\lceil x \rceil$ відповідно .

В сучасній математиці вживають обидва позначення, $[x]$ і $\lfloor x \rfloor$, однак існує тенденція переходу до термінології і позначенням Айверсона. Одна з причин цього — потенційна неоднозначність поняття «ціла частина числа». Наприклад, ціла частина числа 2,7 рівна 2, але можливі дві думки на те, як визначити цілу частину числа −2,7. Відповідно до даного в цій статті визначення $[x] \equiv \lfloor x \rfloor = -3$, однак в деяких калькуляторах наявна функція цілої частини числа INT, для від'ємних чисел визначена як INT(-x) = -INT(x), таким чином INT(-2,7) = −2. В термінології Айверсона відсутні можливі неоднозначності:

$\begin{matrix} \lfloor 2{,}7 \rfloor = 2, & \lfloor -2{,}7 \rfloor = -3, \\ \lceil 2{,}7 \rceil = 3, & \lceil -2{,}7 \rceil = -2 \end{matrix}$

Див. також

• Дробова частина числа