Ціла частина числа

Графік функції $y=[x]$ або $y=\lfloor x\rfloor$

Ціла частина дійсного числа $x$ — найбільше ціле число, яке не більше ніж $x$. Ціла частина числа $x$ зазвичай позначається як $[x]$.

Графік функції $y=\lceil x\rceil$

В інформатиці поряд з функцією ціла частина використовують функції підлога (англ. floor) та стеля (англ. ceiling). Функція підлога позначається як $y=\lfloor x\rfloor$ та збігається з цілою частиною, функція стелі позначається як $\lceil x\rceil$ та дорівнює найменшому цілому числу, яке не менше за $x$.

Визначення за допомогою нерівностей такі:

$\lfloor x\rfloor =\max \,\{m\in \mathbb {Z} \mid m\leqslant x\},$

$\lceil x\rceil =\min \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geqslant x\}.$

Позначення та приклади

Для цілої частини числа $x$ довгий час використовувалось позначення $[x]$, введене Гаусом.

В 1962 році Кеннет Айверсон запропонував заокруглення числа $x$ до найближчого цілого в меншу і більшу сторони називати «підлога» і «стеля» $x$ і позначати $\lfloor x\rfloor$ і $\lceil x\rceil$ відповідно. У цих позначеннях $[x]=\lfloor x\rfloor$.

В сучасній математиці вживають обидва позначення, $[x]$ і $\lfloor x\rfloor$, однак існує тенденція переходу до термінології і позначенням Айверсона. Одна з причин цього — потенційна неоднозначність поняття «ціла частина числа». Наприклад, ціла частина числа 2,7 рівна 2, але можливі дві думки на те, як визначити цілу частину числа −2,7. Відповідно до даного в цій статті визначення $[x]\equiv \lfloor x\rfloor =-3$, однак в деяких калькуляторах наявна функція цілої частини числа INT, для від'ємних чисел визначена як INT(-x) = -INT(x), таким чином INT(-2,7) = −2. В термінології Айверсона відсутні можливі неоднозначності:

${\begin{matrix}\lfloor 2{,}7\rfloor =2,&\lfloor -2{,}7\rfloor =-3,\\\lceil 2{,}7\rceil =3,&\lceil -2{,}7\rceil =-2\end{matrix}}$

Див. також

• Дробова частина числа