Нуль (комплексний аналіз)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нуль голоморфної функції f(z) — у комплексному аналізі число z=a таке, що обертає функцію в нуль: f(a)=0. При цьому нуль може бути як дійсним, так і комплексним числом.

Обчислення нулів[ред.ред. код]

Якщо z=a \ne \infty — нуль, і функція f(z) має розвинення в ряд Тейлора у вигляді \sum_{n=0}^{\infty}C_n(z-a)^n, то C_0=f(a)=0. Якщо C_m перший відмінний від нуля коефіцієнт розвинення, тобто f(z)=C_m(z-a)^m+C_{m+1}(z-a)^{m+1}+..., то число mпорядок, або кратність нуля функції f(z).

Оскільки C_k=\frac {f^{(k)}(a)}{k!}, то порядо нуля дорівнює порядку похідної, відмінної від нуля в точці a.

Точка z=a \ne \infty є нулем порядку m тоді і тільки тоді, коли функція перетворюється у вигляд f(z)=(z-a)^m g(z), \quad g(a) \ne 0, а g(z) — голоморфна в точці а.

Існування нулів[ред.ред. код]

Основна теорема алгебри стверджує, що відмінний від сталої многочлен має хоча б один нуль у комплексній площині. На відміну від дійсних функцій, які нулів можуть і не мати, наприклад, f(x)=x^2+1 не має нулів у дійсній множині.

Властивості[ред.ред. код]

Нулі голоморфної функції завжди ізольовані. Тобто існує такий окіл а, в якому немає інших нулів функції f(z) відмінних від а.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.