Полюс (комплексний аналіз)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Графік показує абсолютну величину гамма-функції. Видно, що функція стає нескінченою в полюсах ліворуч. Праворуч гамма-функція не має полюсів, вона просто швидко зростає

Ізольована особлива точка z_0 називається полюсом функції f(z), якщо в розкладанні цієї функції в ряд Лорана в проколотому околі точки z_0 головна частина містить скінчене число відмінних від нуля членів, тобто

 f(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} {f_k}(z-z_0)^k = P(z)+f_{-n}(z-z_0)^{-n}+ \ldots + f_{-1}(z-z_0)^{-1}, де P(z) - правильна частина ряду Лорана.

Якщо f_{-n} \ne \ 0 , то z_0 називається полюсом порядку n. Якщо n=1, то полюс називається простим.

Критерії визначення полюса[ред.ред. код]

  1. Точка z_0 є полюсом тоді, і тільки тоді, коли  \lim_{z \to {z_0}}f(z) = \infty .
  2. Точка z_0 є полюсом порядку k тоді і тільки тоді, коли  \lim_{z \to {z_0}}f(z)(z-z_0)^{k-1} = \infty , а  \lim_{z \to {z_0}}f(z)(z-z_0)^k \ne \infty .
  3. Точка z_0 є полюсом порядку k тоді і тільки тоді, коли вона є для функції F(z)=\frac{1}{f(z)} нулем порядку k.

Дивись також[ред.ред. код]