Полюс (комплексний аналіз)

Ізольована особлива точка $z_{0}$ називається полюсом функції $f(z)$ , якщо в розкладанні цієї функції в ряд Лорана в проколотому околі точки $z_{0}$ головна частина містить скінчене число відмінних від нуля членів, тобто

f(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f_{k}}(z-z_{0})^{k}=P(z)+f_{-n}(z-z_{0})^{-n}+\ldots +f_{-1}(z-z_{0})^{-1}

, де

P(z)

- правильна частина ряду Лорана.

Якщо $f_{-n}\neq \ 0$ , то $z_{0}$ називається полюсом порядку $n$ . Якщо $n=1$ , то полюс називається простим.

Критерії визначення полюса

Точка $z_{0}$ є полюсом тоді, і тільки тоді, коли $\lim _{z\to {z_{0}}}f(z)=\infty$ .
Точка $z_{0}$ є полюсом порядку $k$ тоді і тільки тоді, коли $\lim _{z\to {z_{0}}}f(z)(z-z_{0})^{k-1}=\infty$ , а $\lim _{z\to {z_{0}}}f(z)(z-z_{0})^{k}\neq \infty$ .
Точка $z_{0}$ є полюсом порядку $k$ тоді і тільки тоді, коли вона є для функції $F(z)={\frac {1}{f(z)}}$ нулем порядку $k$ .