Потік векторного поля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці, термін потік векторного поля використовується для двох різних понять:

1. Потік векторного поля через гіперповерхнюповерхневий інтеграл другого роду на поверхні S. За означенням

\Phi _{F}=\iint\limits_{S}{(\mathbf{F},\mathbf{n})dS}

де \mathbf{F} = \mathbf{F(X)} = \{F_{x}(\mathbf{X}),F_{y}(\mathbf{X}),F_{z}(\mathbf{X})\}векторне поле (чи вектор-функція векторного аргументу — точки простору), \mathbf{n}одиничний вектор додатної нормалі до поверхні (додатній напрям обирається для орієнтованої поверхі умовно, але однаково для всіх точок — тобто для диференційовної поверхні — так, щоб \mathbf{n} був неперервним; для неорієнтованої поверхні це не важливо, оскільки потік через неї завжди дорівнює нулю), dS — інфінітозимальний елемент поверхні. В фізиці іноді застосовують позначення

d\mathbf{S}=\mathbf{n}dS

тоді потік записується у вигляді

\Phi _{F}=\iint\limits_{S}{(\mathbf{F},d\mathbf{S})} = \iint\limits_{S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}

Потік вектора напруженості Ф через площадку ds - кількість силових ліній, що пронизують цю площадку ds.


2. Потік векторного поля \vec A — однопараметрична родина дифеоморфізмів \Gamma_t, що визначаються диференційним рівнянням

d\Gamma_t(x)/dt=\vec A(\Gamma_t(x)).

Фізична інтерпретація[ред.ред. код]

Нехай рух нестисливої рідини одиничної густини задано векторним полем швидкості \mathbf{v} = \mathbf{v}(x, y, z). Тоді маса рідини, що протече за одиницю часу через поверхню S буде дорівнювати потоку векторного поля \mathbf{v} через поверхню S.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Г.М. Фихтенгольц (1969). Курс дифференциального и интегрального исчисления. т. III. Москва: Наука.