Дифеоморфізм

Дифеоморфі́зм — взаємно однозначне і неперервно диференційовне відображення $f:M\to N$ гладкого многовиду $M$ в гладкий многовид $N$, обернене до якого теж є неперервно диференційовним. Зазвичай під гладкістю розуміють $\ C^{\infty }$-гладкість, проте так само можна визначити дифеоморфізми з іншим типом гладкості, наприклад $\ C^{k}$ для будь-якого $k\in \mathbb {N}$.

Пов'язані визначення

Якщо для $M$ та $N$ існує дифеоморфізм, то кажуть, що $M$ й $N$ дифеоморфні. Множина дифеоморфізмів многовиду $M$ у себе утворює групу, що позначається $\operatorname {Diff} M$.

Приклади

• Нехай $\ f(x,y)=(x^{2}+y^{3},x^{2}-y^{3})$. Матриця Якобі цього відображення дорівнює:

$J_{f}=\left({\begin{array}{cc}2x&3y^{2}\\2x&-3y^{2}\end{array}}\right).$

Її визначник дорівнює нулю тоді й лише тоді коли $xy=0$. Тобто f є дифеоморфізмом за межами осі x та осі y.

Література

• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 1400+ с.(укр.)
• М.І.Жалдак, Г.О.Михалін, С.Я.Деканов. Математичний аналіз. Функції багатьох змінних: Навчальний посібник. — К. : НПУ імені М. П. Драгоманова, 2007. — 430 с.(укр.)
• Пришляк О. О.. Диференціальна геометрія: Курс лекцій. — К.: Видавничо-поліграфічний центр «Київський університет», 2004. — 68 с.
• Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология / Пер. с англ. — Москва: Мир, 1972. — 280 с.
• Ф.Уорнер Основы теории гладких многообразий и групп — Москва: Мир, 1987. — 302 с.