Формула Остроградського

Формула Острогра́дського — формула, що виражає потік векторного поля через замкнену поверхню через інтеграл від дивергенції цього поля за об'ємом, охопленим поверхнею.

Якщо векторне поле задано диференційовними функціями $P(x,y,z)$, $Q(x,y,z)$ та $R(x,y,z)$, то

$\iiint \limits _{V}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)dxdydz=\iint \limits _{S}Pdydz+Qdxdz+Rdxdy$.

У векторній формі її можна переписати як

$\iiint \limits _{V}{\text{div}}\,\mathbf {F} dV=\iint \limits _{S}\mathbf {F} d\mathbf {S}$,

де

$\mathbf {F}$ — векторне поле.

Михайло Васильович Остроградський довів цю рівність 1831 року.

Окремі випадки загальної формули були відомі й раніше. Двовимірний аналог цієї формули називають формулою Гріна, а сама формула також відома під назвою формула Гаусса або формула Остроградського — Гаусса.

Твердження формули є окремим випадком загальної теореми Стокса.

Теорема Остроградського застосовується при вивченні процесів, які описуються векторними полями (наприклад, гравітаційним полем, полем напруг, електромагнітним та магнітним полями, полем швидкостей рідини тощо).

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 2. — К. : Вища школа, 1993. — 375 с. — ISBN 5-11-003758-2.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2026. — 2100+ с.(укр.)
• Жалдак М.І., Михалін Г.О., Деканов С.Я. Математичний аналіз. Функції багатьох змінних: Навчальний посібник. — К. : НПУ імені М. П. Драгоманова, 2007. — 430 с.(укр.)