Примарний ідеал

Примарний ідеал — ідеал $\ I$ комутативного кільця, для якого, якщо $\ xy$ є елементом $\ I$, то $\ x$ або $\ y^{n}$ теж є елементом $\ I,$ для деякого натурального $\ n.$ Є важливим поняттям в комутативній алгебрі.

Довільний ідеал в кільці Нетер має примарний розклад, тобто може бути записаний як перетин скінченної кількості примарних ідеалів. Цей результат відомий як теорема Ласкера — Нетер.

Всі прості ідеали є примарними ідеалами.

Якщо $\ I$ — примарний ідеал, тоді асоційований простий ідеал $\ P$ є радикалом $\ I.$ Ідеал $\ I$ в такому випадку називають $\ P$-примарним.

Якщо $\ P$ максимальний простий ідеал, тоді довільний ідеал, що містить степінь $\ P$ є $\ P$-примарним. Не всі $\ P$-примарні ідеали є степенями $\ P,$ наприклад, ідеал (x, y²) є $\ P$-примарним для ідеалу P = (x, y) в кільці k[x, y], але він не є степенем P.

Джерела

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)