Простий ідеал

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В абстрактній алгебрі простий ідеалідеал кільця, властивості якого схожі з властивостями простих чисел. Окрім теорії кілець поняття також часто використовується у алгебраїчній геометрії, де прості ідеали многочленів визначають афінні многовиди.

Узагальненням поняття простого ідеала є примарний ідеал.

Визначення[ред.ред. код]

Ідеал кільця називається простим, якщо і якщо з того, що добуток двох ідеалів міститься в , то принаймі один з ідеалів або міститься в .

У загальному некомутативному кільці це еквівалентно наступному означенню:

Ідеал називається простим якщо виконуються умови:
  • якщо такі, що для всіх , їх добуток належить , тоді або .
  • не рівне кільцю .

У комутативному кільці ідеал називається простим, якщо для деяких двох елементів з того, що , випливає що або . Якщо ця властивість виконується для некомутативного кільця його називають цілком простим.

Замітка. Іноді термін простий ідеал використовується лише для комутативних кілець. У некомутативному випадку при цьому використовується термін первинний ідеал.

Властивості[ред.ред. код]

  • Прообраз простого ідеалу при гомоморфізмі комутативних кілець є простим ідеалом.
  • Ідеал у комутативному кільці є простим, якщо елементи доповнення до нього утворюють мультиплікативну систему.
    • Підмножина кільця називається мультиплікативною системою, якщо вона замкнута відносно операції множення.
  • Теорема віддільності: Нехай в комутативному кільці з одиницею заданий ідеал , що не перетинається з мультиплікативною системою . Тоді існує простий ідеал , що містить і не перетинається з системою .
    • Доказ використовує один з варіантів леми Цорна. Множина всіх ідеалів кільця A, що містять і не перетинаються з системою є непорожньою (вона містить ідеал ), і відношення теоретико-множинного включення задає на ньому індуктивний порядок. За лемою Цорна ця множина містить максимальний елемент — деякий ідеал . Припущення про його непростоту приводить до суперечності з його максимальністю.
  • Теорема про радикал: Перетин всіх простих ідеалів, що містять ідеал , збігається з радикалом ідеалу .
    • Радикал ідеалу - це множина . Вона теж є ідеалом кільця A.
    • Нехай — простий ідеал, що містить . Якщо елемент f належить радикалу , значить деякий його степінь належить ідеалу , відповідно f не може належати доповненню до , оскільки це доповнення — мультиплікативна система (якщо воно містить f, то містить і всі його степені). Значить f необхідно належить всім простим ідеалам, що містять ідеал .
      Навпаки: нехай f не належить радикалу . Тоді множина всіх його степенів - мультиплікативна система, що не перетинає . За попередньою теоремою існує простий ідеал, що містить і що не містить жоден із степенів елементу f. Значить f не належить усім простим ідеалам, що містять ідеал .

Приклади[ред.ред. код]

Нехай максимальний ідеал кільця і припустимо має ідеали і і , але . Оскільки є максимальним, маємо . Тоді,
Тому або , тобто ідеал є простим.

Література[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]