Простий ідеал

В абстрактній алгебрі простий ідеал — ідеал кільця, властивості якого схожі з властивостями простих чисел. Окрім теорії кілець поняття також часто використовується у алгебраїчній геометрії, де прості ідеали многочленів визначають афінні многовиди.

Узагальненням поняття простого ідеала є примарний ідеал.

Визначення

Ідеал $\ P$ кільця $\ R$ називається простим, якщо $P\subsetneq R$ і якщо з того, що добуток $\ AB$ двох ідеалів $A,B\subset R$ міститься в $\ P$, то принаймні один з ідеалів $\ A$ або $\ B$ міститься в $\ P$.

У загальному некомутативному кільці це еквівалентно наступному означенню:

Ідеал називається простим якщо виконуються умови:

• якщо $a,b\in R$ такі, що для всіх $r\in R$, їх добуток $arb\,$ належить $P\,$, тоді $a\in P$ або $b\in P$.
• $P\,$ не рівне кільцю $R\,$.

У комутативному кільці ідеал називається простим, якщо для деяких двох елементів $a,b\in A$ з того, що $ab\in {\mathfrak {a}}$, випливає що $a\in {\mathfrak {a}}$ або $b\in {\mathfrak {a}}$. Якщо ця властивість виконується для некомутативного кільця його називають цілком простим.

Замітка. Іноді термін простий ідеал використовується лише для комутативних кілець. У некомутативному випадку при цьому використовується термін первинний ідеал.

Властивості

• Прообраз простого ідеалу при гомоморфізмі комутативних кілець є простим ідеалом.
• Ідеал ${\mathfrak {a}}$ у комутативному кільці є простим, якщо елементи доповнення до нього утворюють мультиплікативну систему.
  • Підмножина кільця називається мультиплікативною системою, якщо вона замкнута відносно операції множення.
• Теорема віддільності: Нехай в комутативному кільці $A$ з одиницею заданий ідеал ${\mathfrak {a}}$, що не перетинається з мультиплікативною системою $S_{0}$. Тоді існує простий ідеал ${\mathfrak {p}}$, що містить ${\mathfrak {a}}$ і не перетинається з системою $S_{0}$.
  • Доведення використовує один з варіантів леми Цорна. Множина всіх ідеалів кільця A, що містять ${\mathfrak {a}}$ і не перетинаються з системою $S_{0}$ є непорожньою (вона містить ідеал ${\mathfrak {a}}$), і відношення теоретико-множинного включення задає на ньому індуктивний порядок. За лемою Цорна ця множина містить максимальний елемент — деякий ідеал ${\mathfrak {p}}$. Припущення про його непростоту приводить до суперечності з його максимальністю.
• Теорема про радикал: Перетин всіх простих ідеалів, що містять ідеал ${\mathfrak {a}}$, збігається з радикалом ідеалу ${\mathfrak {a}}$ (тобто множиною ${\sqrt {\mathfrak {a}}}=\{f\in A:\,\exists n\in \mathbb {N} \,\,f^{n}\in {\mathfrak {a}}\}$)
  • Нехай ${\mathfrak {p}}$ — простий ідеал, що містить ${\mathfrak {a}}$. Якщо елемент f належить радикалу ${\sqrt {\mathfrak {a}}}$, значить деякий його степінь належить ідеалу ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {p}}$, відповідно f не може належати доповненню до ${\mathfrak {p}}$, оскільки це доповнення — мультиплікативна система (якщо воно містить f, то містить і всі його степені). Значить f необхідно належить всім простим ідеалам, що містять ідеал ${\mathfrak {a}}$.
    Навпаки: нехай f не належить радикалу ${\sqrt {\mathfrak {a}}}$. Тоді множина всіх його степенів — мультиплікативна система, що не перетинає ${\mathfrak {a}}$. За попередньою теоремою існує простий ідеал, що містить ${\mathfrak {a}}$ і що не містить жоден із степенів елементу f. Значить f не належить усім простим ідеалам, що містять ідеал ${\mathfrak {a}}$.

Приклади

• Нехай R — кільце C[X, Y] многочленів від двох змінних, з комплексними коефіцієнтами. Тоді ідеал породжений многочленом Y² − X³ − X − 1 є простим.
• У довільному кільці з одиницею довільний максимальний ідеал є простим.

Нехай ${\mathfrak {m}}$ максимальний ідеал кільця $R$ і припустимо $R$ має ідеали ${\mathfrak {a}}$ і ${\mathfrak {b}}$ і ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {m}}$, але ${\mathfrak {a}}\nsubseteq {\mathfrak {m}}$. Оскільки ${\mathfrak {m}}$ є максимальним, маємо ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}=R$. Тоді,

${\mathfrak {b}}=R{\mathfrak {b}}=({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}){\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {m}}{\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {m}}+{\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}.$

Тому ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$ або ${\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {m}}$, тобто ідеал є простим.

Література

Українською

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

Посилання

• Characterization of prime ideals на сайті PlanetMath.