Простий ідеал

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В абстрактній алгебрі простий ідеалідеал кільця, властивості якого схожі з властивостями простих чисел. Окрім теорії кілець поняття також часто використовується у алгебраїчній геометрії, де прості ідеали многочленів визначають афінні многовиди.

Узагальненням поняття простого ідеала є примарний ідеал.

Визначення[ред.ред. код]

Ідеал \ P кільця \ R називається простим, якщо P \subsetneq R і якщо з того, що добуток \ AB двох ідеалів A, B \subset R міститься в \ P, то принаймі один з ідеалів \ A або \ B міститься в \ P.

У загальному некомутативному кільці це еквівалентно наступному означенню:

Ідеал називається простим якщо виконуються умови:
  • якщо a,b \in R такі, що для всіх r\in R, їх добуток arb\, належить P\,, тоді a \in P або b \in P.
  • P\, не рівне кільцю R\,.

У комутативному кільці ідеал називається простим, якщо для деяких двох елементів a,b\in A з того, що ab\in \mathfrak{a}, випливає що a\in \mathfrak{a} або b\in \mathfrak{a}. Якщо ця властивість виконується для некомутативного кільця його називають цілком простим.

Замітка. Іноді термін простий ідеал використовується лише для комутативних кілець. У некомутативному випадку при цьому використовується термін первинний ідеал.

Властивості[ред.ред. код]

  • Прообраз простого ідеалу при гомоморфізмі комутативних кілець є простим ідеалом.
  • Ідеал \mathfrak{a} у комутативному кільці є простим, якщо елементи доповнення до нього утворюють мультиплікативну систему.
    • Підмножина кільця називається мультиплікативною системою, якщо вона замкнута відносно операції множення.
  • Теорема віддільності: Нехай в комутативному кільці A з одиницею заданий ідеал \mathfrak{a}, що не перетинається з мультиплікативною системою S_0. Тоді існує простий ідеал \mathfrak{p}, що містить \mathfrak{a} і не перетинається з системою S_0.
    • Доказ використовує один з варіантів леми Цорна. Множина всіх ідеалів кільця A, що містять \mathfrak{a} і не перетинаються з системою S_0 є непорожньою (вона містить ідеал \mathfrak{a}), і відношення теоретико-множинного включення задає на ньому індуктивний порядок. За лемою Цорна ця множина містить максимальний елемент — деякий ідеал \mathfrak{p}. Припущення про його непростоту приводить до суперечності з його максимальністю.
  • Теорема про радикал: Перетин всіх простих ідеалів, що містять ідеал \mathfrak{a}, збігається з радикалом ідеалу \mathfrak{a}.
    • Радикал ідеалу \mathfrak{a} - це множина \sqrt\mathfrak{a}=\{f\in A:\,\exist n\in \mathbb{N} \,\,f^n\in\mathfrak{a}\}. Вона теж є ідеалом кільця A.
    • Нехай \mathfrak{p} — простий ідеал, що містить \mathfrak{a}. Якщо елемент f належить радикалу \sqrt\mathfrak{a}, значить деякий його степінь належить ідеалу \mathfrak{a}\subset\mathfrak{p}, відповідно f не може належати доповненню до \mathfrak{p}, оскільки це доповнення — мультиплікативна система (якщо воно містить f, то містить і всі його степені). Значить f необхідно належить всім простим ідеалам, що містять ідеал \mathfrak{a}.
      Навпаки: нехай f не належить радикалу \sqrt\mathfrak{a}. Тоді множина всіх його степенів - мультиплікативна система, що не перетинає \mathfrak{a}. За попередньою теоремою існує простий ідеал, що містить \mathfrak{a} і що не містить жоден із степенів елементу f. Значить f не належить усім простим ідеалам, що містять ідеал \mathfrak{a}.

Приклади[ред.ред. код]

Нехай \mathfrak{m} максимальний ідеал кільця  R і припустимо  R має ідеали  \mathfrak{a} і  \mathfrak{b} і  \mathfrak{a}\mathfrak{b} \subseteq \mathfrak{m}, але  \mathfrak{a} \nsubseteq \mathfrak{m}. Оскільки  \mathfrak{m} є максимальним, маємо  \mathfrak{a} + \mathfrak{m} = R. Тоді,
\mathfrak{b} = R\mathfrak{b} = (\mathfrak{a} + \mathfrak{m})\mathfrak{b}= \mathfrak{a}\mathfrak{b} +  \mathfrak{m}\mathfrak{b} \subseteq \mathfrak{m} + \mathfrak{m} = \mathfrak{m}.
Тому  \mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{m} або  \mathfrak{b} \subseteq \mathfrak{m}, тобто ідеал є простим.

Література[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]