Асоційований простий ідеал

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В теорії кілець, асоційованим простим ідеалом модуля M над кільцем R називається простий ідеал кільця R, що є анулятором деякого підмодуля M. Особливо важливими ці ідеали є у комутативній алгебрі де вони пов'язані з так званим примарним розкладом ідеалів нетерових кілець, що, зокрема, має застосування в алгебричній геометрії.

Означення[ред. | ред. код]

Комутативні кільця[ред. | ред. код]

Нехай комутативне асоціативне кільце з одиницею, і — модуль над .

Простий ідеал називається асоційованим з , якщо існує такий елемент , що .

Еквівалентно, є асоційованим з , якщо існує ін'єктивний R-гомоморфізм між модулями і .

Множина простих ідеалів, асоційованих з модулем позначається .

Мінімальні елементи в (щодо включення множин) у комутативному кільці R, називаються ізольованими простими ідеалами. Усі інші асоційовані прості ідеали називаються вкладеними простими ідеалами.

Модуль називається копримарним якщо з того що xm = 0 для деякого ненульового випливає що xnM = 0 для деякого натурального числа n. Ненульовий скінченнопороджений модуль M над комутативним нетеровим кільцем є копримарним тоді і тільки тоді коли для нього існує один асоційований простий ідеал. Підмодуль N у M називається -примарним якщо є копримарним із асоційованим простим ідеалом . Ідеал I є -примарним ідеалом тоді і тільки тоді коли.

Некомутативні кільця[ред. | ред. код]

Ненульовий R-модуль називається простим модулем якщо для довільного підмодуля модуля . Для простого модуля , є простим ідеалом в .[1]

Ідеал кільця називається асоційованим простим ідеалом для R-модуля , якщо він рівний для деякого простого підмодуля у модулі .

Властивості[ред. | ред. код]

  • Навіть для комутативних локальних кілець, множина асоційованих простих ідеалів скінченнопородженого модуля може бути пустою. Проте в будь-якому кільці, що задовольняє умову обриву зростаючого ланцюга ідеалів (зокрема правому чи лівому нетеровому кільці) довільний ненульовий модуль має хоча б один асоційований простий ідеал.
  • Для одностороннього нетерового кільця, існує сюр'єкція з множини класів ізоморфізмів нерозкладних ін'єктивних модулів на спектр . Якщо R є кільцем Артіна, то це відображення є бієкцією.
  • Теорема Матліма: Для комутативного нетерового кільця , відображення у попередньому пункті завжди є бієкцією.
  • Для будь-якого простого ідеала комутативного кільця і будь-якого нетривіального підмодуля модуля має місце рівність .
Нехай , тобто — суміжний клас за ідеалом , . Очевидно, що .
Припустимо, що . Це означає, що . Тоді з простоти випливає, що . Таким чином, єдиний простий ідеал, асоційований з — це ідеал .
  • Для нетерового модуля M над будь-яким кільцем, існує лише скінченна кількість асоційованих простих ідеалів для M.

Нетерові комутативні кільця[ред. | ред. код]

Всюди нижче кільце є комутативним і нетеровим:

  • Розглянемо множину ідеалів , для яких для деякого для модуля над . Тоді максимальні елементи цієї множини є простими ідеалами. Оскільки для ненульового модуля ця множина не є пустою (довільний елемент має свій анулятор, що може бути і нульовим ідеалом) то звідти для кожного такого модуля існує асоційований простий ідеал.
Припустимо, що такий ідеал є максимальним у цій множині але не простим. Тоді існують елементи , для яких але . Оскільки . Але . Тому, і . Тобто є строго більшим від , що суперечить максимальності останнього у заданій множині.
  • Кожен ідеал J є рівний перетину скінченної кількості примарних ідеалів. Запис ідеала як перетину примарних ідеалів називається примарним розкладом ідеала. Множина радикалів цих ідеалів є рівною . Зокрема, ідеал J є примарним ідеалом тоді і тільки тоді, коли множина складається з одного елемента.
  • Довільний мінімальний простий ідеал для ідеала J є елементом множини . Множина цих ідеалів є множиною ізольованих простих ідеалів.
  • Множина рівна множині елементів (такі елементи називають дільниками нуля ).
З означення очевидно, що кожен елемент довільного асоційованого простого ідеала, а тому і їх об'єднання є дільником нуля . Навпаки, якщо елементи для яких то . Але є підмножиною деякого максимального анулятора елемента модуля і цей ідеал є простим. Тобто належить деякому асоційованому простому ідеалу.
  • Нехай S мультиплікативна система кільця і . Ідеал є асоційованим для модуля M над R, тоді і тільки тоді коли простий ідеал у локалізації кільця є асоційованим для модуля .
    Якщо то для деякого . Тоді .
    Навпаки якщо для деякого . Нехай . Тоді , звідки випливає, що і оскільки кільце є нетеровим, а тому всі ідеали скінченнопородженими, то існує також такий що . Тоді .
  • Якщо є скінченнопородженим модулем над , тоді існує скінченна послідовність підмодулів
для якої усі фактормодулі є ізоморфними факторкільцям для деяких простих ідеалів . До того ж для цих ідеалів справедливими є включення:
де за означенням носій модуля . Окрім того мінімальні елементи в усіх трьох множинах є однаковими.
Оскільки для ненульового модуля існує асоційований простий ідеал то у цьому випадку існує підмодуль ізоморфний . Далі якщо модуль не є нульовим то для нього можна використати ті самі аргументи і отримати модуль , такий що є ізоморфним для якогось простого ідеала (що буде простим асоційованим для модуля ). Продовжуючи по індукції отримуємо зростаючу послідовність модулів, що задовольняють умови теореми. Оскільки модуль є нетеровим то це процес завершиться за скінченну кількість кроків. Це можливо лише коли останній підмодуль у послідовності рівний .
Нехай тепер . Тоді тоді і тільки тоді коли для якогось локалізація , тобто якщо містить один із ідеалів . Звідси усі і мінімальні елементи обох множин є однаковими.
Нехай тепер . Тоді модуль містить підмодуль ізоморфний до . Нехай i — найменший індекс для якого . Якщо то модуль є ізоморфним до і ін'єктивно відображається у . Тому звідки .
Якщо є мінімальним елементом , то відповідної локалізації містить єдиний елемент . Оскільки є непустою і міститься в то і з властивостей для асоційованих простих ідеалів для локалізації .
  • Модуль над має скінченну довжину тоді і тільки тоді, коли є скінченнопородженим і елементами є лише максимальні ідеали.[2]
  • Якщо є підмодулем то .
  • Для скінченнопородженого модуля


Приклади[ред. | ред. код]

  • Якщо то асоційованими простими ідеалами для є ідеали і .
  • Нехай кільце многочленів, — ідеал в , афінний многовид заданий цим ідеалом, — незвідні компоненти . Покладемо — афінне координатне кільце , тоді прості ідеали, асоційовані з модулем це ідеали незвідних компонент .
  • Якщо є кільцем цілих чисел, тоді нетривіальні вільні абелеві групи і нетривіальні абелеві групи порядок яких є степенем простого числа є копримарними.
  • Якщо є кільцем цілих чисел і Mскінченною абелевою групою, тоді асоційованими простими ідеалами є ідеали породжені простими числами, що ділять порядок групи .
  • Приклад не нетерового комутативного кільця і модуля, що не має асоційованих простих ідеалів. Нехай — кільце многочленів над полем комплексних чисел від нескінченної кількості змінних і ідеал .  Тоді . Справді, припустимо простий ідеал є анулятором деякого елемента . Виберемо довільного представника цього елемента ; тоді є множиною тих для яких .  Проте є многочленом лише від скінченної підмножини змінних , нехай .  Очевидно що (тобто ), але (тому ). Звідси не є простим ідеалом.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Lam, 1999, с. 85
  2. Cohn, P. M. (2003). Basic Algebra. Springer. Exercise 10.9.7, p. 391. ISBN 9780857294289. .

Література[ред. | ред. код]