Підпослідовність

Підпослідовністю $\left\{x_{n_{k}}\right\}$ називається послідовність, складена з елементів послідовності $\{x_{n}\}$ і в якій порядок слідування її елементів збігається з порядком слідування елементів у початковій послідовності $\{x_{n}\}$.
Іншими словами, візьмемо деяку послідовність $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, …, $x_{n}$, … . Візьмемо другу довільну строго зростаючу послідовність натуральних чисел $k_{1}<k_{2}<k_{3}<\ldots <k_{n}<\ldots$. Виберемо із послідовності $\{x_{n}\}$ елементи з номерами $k_{1}$, $k_{2}$, $k_{3}$, …, $k_{n}$, … і розташуємо їх в такому ж порядку як і числа $k_{n}$, тоді отримаємо: $x_{k_{1}}$, $x_{k_{2}}$, $x_{k_{3}}$, …, $x_{k_{n}}$, … . Це і буде підпослідовність $x_{n_{k}}$ послідовності $x_{n}$.

Властивості числових підпослідовностей

• Будь-яка підпослідовність збіжної послідовності збігається до тієї ж границі.
• Множина часткових границь послідовності — замкнена.
• З будь-якої послідовності можна виділити монотонну підпослідовність.
• З обмеженої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)
• Банах С. Диференціальне та інтегральне числення = Rachunek różniczkowy i całkowy. — 2-е. — М. : Наука, 1966. — 436 с.(рос.)
• Березанський Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функціональний аналіз : [укр.] = Functional Analysis, Vol. I, Kyiv : Institute of Mathematics, 2010. : [пер. з англ.] : підручник. — Л. : Видавець Чижиков І. Е., 2014. — С. 559. — (Університетська бібліотека). — ISBN 978-966-2645-12-5.
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)