Обмежена послідовність

Числова послідовність $\{a_{n}:n\geq 1\}$ називається обмеженою, якщо $\exists C\in \mathbf {R^{+}} \quad \forall n\geq 1:|a_{n}|\leq C$, тобто множина її значень є обмеженою.

• Послідовність {$x_{n}$} називається обмеженою зверху (знизу), якщо існує таке дійсне число M (число m), що кожен елемент $x_{n}$ послідовності {$x_{n}$} задовільняє нерівність $x_{n}$ ≤ M ($x_{n}$ ≥ m).При цьому число M (число m) називають верхньою (нижньою) межею послідовності.

• Послідовність {$x_{n}$} називається обмеженою з двох сторін або просто обмеженою, якщо вона обмежена зверху і знизу, тобто існують такі числа m і M, що m ≤ $x_{n}$ ≤ M., або |$x_{n}$| ≤ A, де A = max{M, m}.

Якщо послідовність є збіжною, то вона буде обмеженою.

Властивості

Добуток обмеженої і нескінченно малої послідовностей дає нескінченно малу послідовність.

Монотонно зростаюча обмежена зверху (або монотонно спадаюча обмежена знизу) послідовність має скінченну границю.

Див. також

• Верхня та нижня межа
• Обмежена множина
• Обмежена функція

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)