Рефлексивний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рефлексивний простірбанахів простір X, що збігається при канонічному вкладенні зі своїм другим спряженим X^{**}.

Означення[ред.ред. код]

Нехай X^* — простір, спряжений з X, тобто сукупність усіх неперервних лінійних функціоналів, визначених на X. Якщо \langle x, f\rangle — значення функціоналу f \in X^* на елементі x \in X, то при фіксованому x і f, що пробігають X^*, вираз \langle x, f \rangle = \mathcal F_x(f) буде лінійним функціоналом на X^*, то є елементом простору X^{**}. Нехай \overline{X} \subset X^{**} — множина таких функціоналів. Відповідність  x \to \mathcal F_x є ізоморфізм, що не міняє норми |\!|x|\!|=|\!|\mathcal F_x|\!|.

Якщо \overline{X}= X^{**}, то простір X називається рефлексивним.

Приклади[ред.ред. код]

  • Простори  \ell_p і L_p(a,b), 1<p<\infty, рефлексивні,
  • Простори C[a,b], L_1[a,b], L_\infty[a,b] не рефлексивні.

Властивості[ред.ред. код]

  • Простір X рефлексивний тоді і тільки тоді, коли X^* рефлексивно.
  • Простір X рефлексивний тоді і тільки тоді, коли одинична куля цього простору слабо компактна.
  • Рефлексивний простір слабко повний. Зворотне невірно, існують слабко повні нерефлексівним простору, наприклад  L_1 .
  • Замкнутий підпростір рефлексивного простору рефлексивно.

Варіації і узагальнення[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, ч. 1 — Общая теория, пер. с англ., М., 1982;
  • Иосида К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967;
  • Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, I изд., М., 1977.
  • Треногин В. А. Функциональный анализ.
  • Функциональный анализ.