Простір Lp

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В математиці просторами L^p називаються простори вимірних функцій, які при піднесенні до степеня p\, (де p \geqslant 1) є інтегровними за Лебегом.

\ L^p — найважливіший клас банахових просторів. Окрім того, \ L^2 — класичний приклад гільбертового простору.

Побудова простору Lp[ред.ред. код]

Визначення 1. Нехай задано простір з мірою (X,\;\mathcal{F},\;\mu). Зафіксуємо 1 \leqslant p < \infty і розглянемо множину вимірних функцій, визначених на цьому просторі, таких що

\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx) < \infty.

Позначимо цю множину \mathcal{L}^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu) або просто \mathcal{L}^p.

Теорема 1. \mathcal{L}^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu) є лінійним простором. Доведення одержується з елементарних властивостей інтеграла Лебега, а також нерівності Мінковського.

На цьому лінійному просторі можна ввести напівнорму:

\|f\|_p = \left( \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{\frac{1}{p}}.

Додатність і однорідність є наслідками властивостей інтеграла Лебега, а нерівність Мінковського є нерівністю трикутника для цієї напівнорми.

Замітка 1. Введена таким чином напівнорма не є нормою, бо якщо f(x) = 0\, майже всюди, то \|f\|_p = 0, що суперечить вимогам до норми. Щоб перетворити простір з напівнормою в простір з нормою, необхідно ототожнити функції, що розрізняються між собою лише на множині міри нуль.

Визначення 2. Введемо на \mathcal{L}^p відношення еквівалентності:

f \!\sim g, якщо f(x) = g(x)\, майже всюди.

Це відношення розбиває простір \mathcal{L}^p\, на класи еквівалентності, причому напівнорми будь-яких двох представників одного і того ж класу збігаються.

Тоді на побудованому факторпросторі (тобто множині класів еквівалентності) \mathcal{L}^p/\sim можна ввести норму рівну напівнормі будь-якого представника даного класу. За визначенням, всі аксіоми напівнорми збережуться, і додатково через викладену побудову виявляється виконаною і додатна визначеність.

Визначення 3. Факторпростір \left(\mathcal{L}^p/\!\sim,\; \|\cdot\|_p\right) з побудованою на ньому нормою називається простором L^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu) або просто L^p\,.

При 0<p<1\,, L_p\, не утворюють нормованого простору, оскільки не виконується нерівність трикутника (точніше, виконується зворотна нерівність трикутника: при 0<p<1\, \forall f,g\in L_p(\Omega):\{\int\limits_\Omega|f(x)+g(x)|^p dx\}^\frac{1}{p}\geq \{\int\limits_\Omega |f(x)|^p dx\}^\frac{1}{p}+\{\int\limits_\Omega |g(x)|^p dx\}^\frac{1}{p}), проте утворюють метричні простори.

Повнота простору Lp[ред.ред. код]

Введена вище норма разом з лінійною структурою породжує метрику

d(f,\;g) = \|f-g\|_p,

а отже і поняття збіжності.

Визначення 3. Нехай є послідовність функцій \{f_n\}_{n=1}^{\infty} \subset L^p. Тоді ця послідовність збігається до функції f\in L^p, якщо

\|f_n-f\|_p \to 0 при n \to \infty.

Теорема 2. Простір L^p\, є повним, тобто будь-яка фундаментальна послідовність L^p\, збігається до елементу цього ж простору. Таким чином, L^p\,банахів простір.

Простір L2[ред.ред. код]

У випадку p=2\, введена вище норма породжується скалярним добутком. Таким чином, разом з поняттям довжини тут має сенс і поняття кута, а отже і суміжні поняття, такі, як ортогональність, проекція і ін.

Визначення 4. Введемо на просторі L^2 скалярний добуток таким чином:

\langle f,\;g \rangle = \int\limits_X f(x)\,\overline{g(x)} \mu(dx)

у випадку, якщо дані функції комплекснозначні, або

\langle f,\;g \rangle = \int\limits_X f(x)\,{g(x)} \mu(dx),

якщо вони дійсні. Тоді, очевидно:

\|f\|_2 = \sqrt{\langle f,\; f \rangle},

тобто норма породжується скалярним добутком. Використовуючи це разом з результатом про повноту будь-якого L^p\,, одержуємо:

Теорема 3. Простір L^2\,гільбертів.

Простір L[ред.ред. код]

Розглянемо простір \mathcal{L}^{\infty}(X,\;\mathcal{F},\;\mu) вимірних функцій, обмежених майже усюди. Ототожнивши між собою функції, що розрізняються лише на множині міри нуль, і поклавши за визначенням

\|f\|_{\infty} = \mathrm{ess}\sup\limits_{x\in X} |f(x)|,

одержуємо банахів простір.

Метрика, що породжується цією нормою, називається рівномірною. Так само називається і збіжність, породжена такою метрикою:

f_n \to f у L^{\infty}, якщо \mathrm{ess} \sup\limits_{x \in X} |f_n(x)-f(x)| \to 0 при n \to \infty.

Властивості просторів Lp[ред.ред. код]

  • Із збіжності функцій майже всюди не випливає збіжність в просторі L^p\,. Нехай f_n(x)=n^{1/p}\, при x\in(0,1/n] і f_n(x)=0\, при x\in(1/n,1], f_n\in L^p. Тоді f_n \to 0 майже всюди. Але \|f_n\|_p^p=\int_0^1 |f_n|^p d\mu=1. Зворотне твердження також невірне.
  • Якщо \|f_n-f\|_p \to 0 при n\to \infty, то існує підпослідовність f_{n_k}, така що f_{n_k} \to f майже всюди.
  • L^p\, функції на числовій прямій можуть бути наближені гладкими функціями. Нехай L^p_{C^{\infty}}(\mathbb{R},\;\mathcal{B}(\mathbb{R}),\;m) — підмножина L^p(\mathbb{R},\;\mathcal{B}(\mathbb{R}),\;m), що складається з нескінченно гладких функцій. Тоді L^p_{C^{\infty}} всюди щільна в L^p.
  • L^p(\mathbb{R},\;\mathcal{B}(\mathbb{R}),\;m)сепарабельний простір.
  • Якщо \mu \, — скінченна міра, наприклад, ймовірність, і 1 \leqslant p \leqslant q \leqslant \infty, то L^q \subset L^p. Зокрема L^2 \subset L^1, тобто випадкова величина зі скінченним другим моментом має скінченний перший момент.

Простори спряжені Lp[ред.ред. код]

Нехай \left(L^p\right)^{\star} є простором спряженим до L^p\, (так званий копростір). За визначенням, елемент g \in \left(L^p\right)^{\star} є лінійним функціоналом на L^p\,.

Теорема 4. Якщо 1 < p < \infty, то \left(L^p\right)^{\star} ізоморфний L^q\, (пишемо \left(L^p\right)^{\star} \cong L^q), де 1/p+1/q=1\,. Будь-який лінійний функціонал на L^p\, має вигляд:

g(f) = \int\limits_X f(x)\, \tilde{g}(x)\, \mu(dx),

де \tilde{g}(x)\in L^q.

Через симетрію рівняння 1/p+1/q=1\, сам простір L^p\, є дуальним (з точністю до ізоморфізму) до L^q\,, а отже:

\left(L^p\right)^{\star \star} \cong L^p.

Цей результат справедливий і для випадку p=1\,, тобто \left(L^1\right)^{\star} = L^{\infty}. Проте \left(L^{\infty}\right)^{\star} \not\cong L^1 і, зокрема \left(L^1\right)^{\star \star} \not\cong L^1.

Простори lp, 1 ≤ p ≤ ∞[ред.ред. код]

Нехай (X,\;\mathcal{F},\;\mu) = \left(\mathbb{N},\; 2^{\mathbb{N}},\; m\right), де m\,зліченна міра на \mathbb{N}, тобто m(\{n\}) = 1,\; \forall n \in \mathbb{N}. Тоді якщо p<\infty, то й простір L^p\left(\mathbb{N},\; 2^{\mathbb{N}},\; m\right) є множиною послідовностей \{x_n\}_{n=1}^{\infty}, таких що

\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^p < \infty.

Відповідно, норма на цьому просторі задається

\|x\|_p = \left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}.

Одержаний нормований простір позначається l^p\,.

Якщо p=\infty, то ми розглядаємо простір обмежених послідовностей з нормою

\|x\|_{\infty} = \sup\limits_{n\in \mathbb{N}}|x_n|.

Одержаний нормований простір позначається l^{\infty}. Він є прикладом несепарабельного простору.

Як і в загальному випадку, поклавши p=2\,, ми одержуємо гільбертів простір l^2\,, норма якого породжена скалярним добутком

\langle x,\;y \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} x_n  \overline{y_n},

якщо послідовності комплекснозначні, і

\langle x,\;y \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} x_n {y_n},

якщо вони дійсні.

Простір, дуальний l^p\,, де 1 \leqslant p < \infty ізоморфний l^q\,, 1/p+1/q=1\,.

Література[ред.ред. код]

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
  • Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.