Простір Lp

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Просторами в математиці називаються простори вимірних функцій, які при піднесенні до степеня (де ) є інтегровними за Лебегом.

— найважливіший клас банахових просторів. Окрім того, — класичний приклад гільбертового простору.

Побудова простору Lp[ред.ред. код]

Визначення 1. Нехай задано простір з мірою . Зафіксуємо і розглянемо множину вимірних функцій, визначених на цьому просторі, таких що

Позначимо цю множину або просто .

Теорема 1. є лінійним простором. Доведення одержується з елементарних властивостей інтеграла Лебега, а також нерівності Мінковського.

На цьому лінійному просторі можна ввести напівнорму:

Додатність і однорідність є наслідками властивостей інтеграла Лебега, а нерівність Мінковського є нерівністю трикутника для цієї напівнорми.

Замітка 1. Введена таким чином напівнорма не є нормою, бо якщо майже всюди, то , що суперечить вимогам до норми. Щоб перетворити простір з напівнормою в простір з нормою, необхідно ототожнити функції, що розрізняються між собою лише на множині міри нуль.

Визначення 2. Введемо на відношення еквівалентності:

, якщо майже всюди.

Це відношення розбиває простір на класи еквівалентності, причому напівнорми будь-яких двох представників одного і того ж класу збігаються.

Тоді на побудованому факторпросторі (тобто множині класів еквівалентності) можна ввести норму рівну напівнормі будь-якого представника даного класу. За визначенням, всі аксіоми напівнорми збережуться, і додатково через викладену побудову виявляється виконаною і додатна визначеність.

Визначення 3. Факторпростір з побудованою на ньому нормою називається простором або просто .

При , не утворюють нормованого простору, оскільки не виконується нерівність трикутника (точніше, виконується зворотна нерівність трикутника: при ), проте утворюють метричні простори.

Повнота простору Lp[ред.ред. код]

Введена вище норма разом з лінійною структурою породжує метрику

а отже і поняття збіжності.

Визначення 3. Нехай є послідовність функцій . Тоді ця послідовність збігається до функції , якщо

при

Теорема 2. Простір є повним, тобто будь-яка фундаментальна послідовність збігається до елементу цього ж простору. Таким чином, банахів простір.

Простір L2[ред.ред. код]

У випадку введена вище норма породжується скалярним добутком. Таким чином, разом з поняттям довжини тут має сенс і поняття кута, а отже і суміжні поняття, такі, як ортогональність, проекція і ін.

Визначення 4. Введемо на просторі скалярний добуток таким чином:

у випадку, якщо дані функції комплекснозначні, або

якщо вони дійсні. Тоді, очевидно:

тобто норма породжується скалярним добутком. Використовуючи це разом з результатом про повноту будь-якого , одержуємо:

Теорема 3. Простір гільбертів.

Простір L[ред.ред. код]

Розглянемо простір вимірних функцій, обмежених майже усюди. Ототожнивши між собою функції, що розрізняються лише на множині міри нуль, і поклавши за визначенням

одержуємо банахів простір.

Метрика, що породжується цією нормою, називається рівномірною. Так само називається і збіжність, породжена такою метрикою:

у , якщо при .

Властивості просторів Lp[ред.ред. код]

  • Із збіжності функцій майже всюди не випливає збіжність в просторі . Нехай при і при , . Тоді майже всюди. Але . Зворотне твердження також невірне.
  • Якщо при , то існує підпослідовність , така що майже всюди.
  • функції на числовій прямій можуть бути наближені гладкими функціями. Нехай — підмножина , що складається з нескінченно гладких функцій. Тоді всюди щільна в .
  • сепарабельний простір.
  • Якщо — скінченна міра, наприклад, ймовірність, і , то . Зокрема , тобто випадкова величина зі скінченним другим моментом має скінченний перший момент.

Простори спряжені Lp[ред.ред. код]

Нехай є простором спряженим до (так званий копростір). За визначенням, елемент є лінійним функціоналом на .

Теорема 4. Якщо , то ізоморфний (пишемо ), де . Будь-який лінійний функціонал на має вигляд:

де .

Через симетрію рівняння сам простір є дуальним (з точністю до ізоморфізму) до , а отже:

Цей результат справедливий і для випадку , тобто . Проте і, зокрема .

Простори lp, 1 ≤ p ≤ ∞[ред.ред. код]

Нехай , де зліченна міра на , тобто . Тоді якщо , то й простір є множиною послідовностей , таких що

Відповідно, норма на цьому просторі задається

Одержаний нормований простір позначається .

Якщо , то ми розглядаємо простір обмежених послідовностей з нормою

Одержаний нормований простір позначається . Він є прикладом несепарабельного простору.

Як і в загальному випадку, поклавши , ми одержуємо гільбертів простір , норма якого породжена скалярним добутком

якщо послідовності комплекснозначні, і

якщо вони дійсні.

Простір, дуальний , де ізоморфний , .

Література[ред.ред. код]