Рівняння Чепмена-Колмогорова

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Еволюція функцій густини ймовірності в початковий момент часу t_0(дельта), кінцевий момент часу t та в деякий проміжковий момент t'.

Рівняння Чепмена-Колмогорова[1] (англ. Chapman-Kolmogorov equation, нім. Chapman-Kolmogorow-Gleichung, рос. уравнение Чепмена-Колмогорова) пов'язує умовні ймовірності для марківського процесу в різні моменти часу.

Авторами рівняння є британський математик Сідні Чепмен та рядянський математик Андрій Колмогоров.

Формулювання[ред.ред. код]

Нехай P(z,t|z_0,t_0) — умовна функція густини ймовірності для марківського процесу \xi(t) (тобто ймовірність знайти випадкову змінну в інтервалі z\le \xi \le z+dz в момент часу t за умови, що \xi=z_0 в момент часу t_0 дорівнює P(z,t|z_0,t_0)dz). Тоді рівняння Чепмена-Колмогорова


P(z,t|z_0,t_0)=\int P(z,t|z',t')P(z',t'|z_0,t_0) dz',~~~~ t_0 < t' < t~.

пов'яже функції густини ймовірності в початковий момент часу t_0, кінцевий момент часу t та в деякий проміжковий момент t'.

Часто зустрічається запис рівняння Чепмена-Колмогорова через інтервали \tau=t'-t_0 та \sigma=t-t'. Тоді P(z,t|z_0,t_0)=P(z|z_0,\sigma+\tau) і рівняння Чепмена-Колмогорова набуває вигляду


P(z|z_0,\sigma+\tau)=\int P(z|z',\sigma)P(z'|z_0,\tau) dz',~~~~ \sigma, \tau >0~.

Застосування[ред.ред. код]

З рівняння Чепмена-Колмогорова отримується рівняння Фоккера-Планка.


Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  1. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М.: Наука, 1974. — 120 с.

Література[ред.ред. код]

  • Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — М.: Мир, 1986. — 528 с.
  • ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. — М.: Высшая школа, 1990. — 376 с.
  • Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений. — М.: Мир, 1974. — 37 с.
  • Хакен Г. Синергетика. — М.: Мир, 1980. — 406 с.
  • Risken H. The Fokker-Planck Equation. — Berlin: Springer-Verlag, 1984.