Замкнута множина

За́мкнені мно́жини в математичному аналізі та функціональному аналізі — це множина, яка складається з усіх елементів універсальної множини, що не входять до даної відкритої множини.

Означення

Нехай дано топологічний простір $(X,{\mathcal {T}})$. Множина $V\subset X$ называєтся замкненою відносно топології ${\mathcal {T}}$, якщо існує відкрита множина $U\in {\mathcal {T}},$ така що $V=X\setminus U.$

Приклади

• Весь простір $X$, а також порожня множина $\emptyset$ завжди замкнені.
• Інтервал $[a,b]\subset \mathbb {R}$ замкнений в стандартній топології на дійсній прямій, бо його доповнення відкрите.
• Множина $\mathbb {Q} \cap [0,1]$ замкнена в просторі раціональних чисел $\mathbb {Q}$, але не замкнене в просторі всіх дійсних чисел $\mathbb {R}$.

Див. також

• Відкрита множина.

Література

1. С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.
2. Фихтенгольц (1954). Основы математического анализа. Москва: Радянська школа.