Розподіл Максвелла — Больцмана

Розпо́діл Бо́льцмана визначає ймовірність частки ідеального газу перебувати в стані з певною енергією.

Ймовірність того, що частка перебуває в стані з енергією $\varepsilon _{k}$ згідно з розподілом Больцмана визначається формулою:

$n_{k}=e^{(\mu -\varepsilon _{k})/k_{B}T}$,

де μ — хімічний потенціал, T — температура, k_B — стала Больцмана.

Хімічний потенціал μ визначається з умови

$\sum _{k}n_{k}=1,$

де N — число часток.

Розподіл Больцмана справедливий тільки в тих випадках, коли $n_{k}\ll 1$. Ця умова реалізується при високих температурах.

Граничний випадок квантовомеханічних розподілів

В квантовій статистиці розподіли для ферміонів і бозонів мають різний вигляд і різні властивості. Проте при високій температурі, коли ймовірність знайти частку в будь-якому стані набагато менша за одиницю, як розподіл Фермі-Дірака так і розподіл розподіл Бозе-Ейнштейна переходять в розподіл Больцмана.

Розподіл Больцмана в класичній статистиці

В класичній статистиці частка ідеального газу має лише кінетичну енергію.

Число часток з імпульсами в проміжку $(\mathbf {p} ,\mathbf {p} +d\mathbf {p} )$ визначається формулою:

$dn_{\mathbf {p} }={\frac {N}{V(2\pi mk_{B}T)^{3/2}}}e^{-p^{2}/2mk_{B}T}dp_{x}dp_{y}dp_{z}$,

де m — маса частки.

У випадку коли дана формула виражена через швидкості, а не через імпульси, вона носить назву розподілу Максвелла

$dn_{\mathbf {v} }={\frac {N}{V}}\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}e^{-mv^{2}/2k_{B}T}dv_{x}dv_{y}dv_{z}$.

Розподіл Больцмана в зовнішньому полі

У випадку, коли частки ідеального газу перебувають у зовнішньому полі з потенціалом $U(\mathbf {r} )$, це збільшує їхню енергію. В такому випадку, розподіл Больцмана визначає залежну від координати густину часток:

$n(\mathbf {r} )=n_{0}e^{-U(\mathbf {r} )/k_{B}T}$.

Зокрема, у випадку газу в полі тяжіння Землі це співвідношення визначає барометричну формулу

$n(z)=n_{0}e^{-mgz/k_{B}T}$.

Аналогічні формули справедливі для розподілу густини носіїв заряду (електронів чи дірок) у електричному полі в напівпровідникових приладах.

Див. також

• Статистика Фермі-Дірака
• Статистика Бозе-Ейнштейна

Джерела

• Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1976). Теоретическая физика. т. V. Статистическая физика. Часть 1 (російська) . Москва: Наука.