Імпульс

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Класична механіка
\bold{F} = \frac{d\bold{p}}{dt}
Другий закон Ньютона
Історія класичної механіки

Імпульсом або вектором кількості руху в класичній механіці називається міра механічного руху тіла, векторна величина, що для матеріальної точки дорівнює добутку маси точки на її швидкість та має напрямок швидкості.

У системі СІ одиницею вимірювання імпульсу є кг·м/с, в системі СГС — [г·см/с].

Сума імпульсу для будь-якої замкнутої системи є величиною сталою.

Історія[ред.ред. код]

Поняття імпульсу запровадив на початку XIV століття Жан Бурідан. Французький філософ зауважив, що кинуте тіло продовжує рухатися тоді, коли на нього перестає діяти сила руки. Здатність тіла зберігати рух Бурідан назвав латинським словом impetus, таким чином увівши в обіг поняття, яке в наш час називають імпульсом[1].

Імпульс в класичній механіці[ред.ред. код]

В класичній механіці імпульс (традиційно позначається p) визначається як добуток маси тіла m та його швидкості v:

p =  m v.

Імпульсом системи n матеріальних точок називається вектор P, що дорівнює геометричній сумі імпульсів всіх точок системи та є добутком сумарної маси системи M на швидкість її центру інерції vc:

\mathbf{P}=\sum_{i=1}^n \mathbf{p}_i=\sum_{i=1}^n m_i\mathbf{v}_i=\mathit{M}\mathbf{v}_c.

Зміна імпульсу системи може відбуватись лише внаслідок зовнішнього впливу, тобто внаслідок дії зовнішніх сил. Жодними внутрішніми процесами та взаємодією внутрішніх часток не можна змінити сумарний імпульс системи.

Зміна імпульсу тіла пропорційна до сили, яка викликає цю зміну, та проміжку часу, за який ця зміна відбувається (другий закон Ньютона):

d\mathbf{p}=\mathbf{F}\cdot dt.

Для замкненої системи, тобто системи на яку не діють ніякі зовнішні сили, має місце закон збереження імпульсу. Величина імпульсу P такої системи залишається векторною та сталою, в той же час імпульси окремих частин системи можуть змінюватись внаслідок їхньої взаємодії. Цей закон пояснює реактивний рух, відбій при пострілі, роботу гребного гвинта тощо.

Узагальнений імпульс[ред.ред. код]

В аналітичній механіці поняття імпульсу узагальнюється згідно з означенням

 p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} ,

де  L(\dot{q}, q, t) функція Лагранжа,  q — узагальнена координата, а  \dot{q} — узагальнена швидкість.

Імпульс в релятивістській механіці[ред.ред. код]

Визначення імпульсу було змінене в спеціальній теорії відносності для того, щоб воно залишалось інваріантним до релятивістських перетворень і визначається як чотирьохкомпонентний вектор, або 4-імпульс:

 p^i = \left(\frac{E}{c}, p_x, p_y, p_z \right)

де  c — константа швидкості світла,  E — повна енергія системи,  \mathbf{p} — просторовий вектор, який відповідає «звичайному» імпульсу в релятивістських умовах.

Імпульс  \mathbf{p} частки з масою m визначається як

 \mathbf{p}=\frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}.

Вираз для імпульсу в релятивістській механіці при v = c дорівнює нескінченності, якщо маса не дорівнює нулю. Таким чином частки з ненульовою масою можуть рухатись лише зі швидкістю меншою за швидкість світла.

4-імпульс  p^i пов'язаний з 4-швидкістю  u^i формулою  p^i = mcu^i . Враховуючи співвідношення  u^iu_i = 1 , можна отримати зв'язок між енергією та імпульсом тіла:

\frac{\mathit{E}^2}{\mathit{c}^2}=\mathbf{p}^2+m^2\mathit{c}^2.

З цієї формули виходить, що об'єкти з нульовою масою, такі як фотони, також мають імпульс, який дорівнює p=E/c, де E — енергія фотона, та c — швидкість світла.

При переході до інших інерціальних систем відліку імпульс змінюється згідно з формулами перетворень Лоренца.

В спеціальній теорії відносності взаємодія розповсюджується зі скінченною швидкістю, яка не може перебільшувати швидкість світла в вакуумі. Тобто імпульс випромінений однією часткою передається до інших не миттєво, і, отже, сумарний імпульс всіх часток не зберігається. Але закон збереження виконується і в цьому випадку, якщо враховувати імпульс, що належить полю — носію взаємодії, котрому приписують густину імпульсу та густину потоку імпульсу.

Імпульс в квантовій механіці[ред.ред. код]

Докладніше у статті Оператор імпульсу

В квантовій механіці, імпульс визначається як оператор над хвильовою функцією, що комутує з гамільтоніаном системи та збереження якого випливає з однорідності простіру. Принцип невизначеності Гайзенберга визначає межу похибки, з якою координата частки може бути виміряна одночасно з відповідною компонентою імпульсу вздовж тієї ж осі. В квантовій механіці похибки вимірювання координати частки \Delta x та відповідної компоненти імпульсу \Delta p_x не можуть одночасно дорівнювати нулю:

\Delta p_x\Delta x\ge\hbar.

Для окремої частинки з нульовим електричним зарядом та спіном, оператор імпульсу \widehat{\mathbf{p}} визначається як

\widehat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla

де \nabla=\left (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right ) — оператор градієнта.

Оскільки результат диференціювання по двом незалежним змінним не залежить від порядку диференціювання, то оператори трьох компонент імпульсу комутативні:

\begin{matrix}\widehat{\mathbf{p}}_x\widehat{\mathbf{p}}_y - \widehat{\mathbf{p}}_y\widehat{\mathbf{p}}_x=0,\\ \widehat{\mathbf{p}}_x\widehat{\mathbf{p}}_z - \widehat{\mathbf{p}}_z\widehat{\mathbf{p}}_x=0,\\ \widehat{\mathbf{p}}_y\widehat{\mathbf{p}}_z - \widehat{\mathbf{p}}_z\widehat{\mathbf{p}}_y=0.\end{matrix}

З цього виходить, що всі три компоненти імпульсу можуть одночасно мати визначені точні значення.

Власні функції та власні значення оператора імпульсу є розв'язками рівняння:

-i\hbar\nabla\psi=\mathbf{p}\psi

та мають такий вигляд:

\psi=\text{const}\cdot e^{i\mathbf{pr}/\hbar}.

У прикладних галузях[ред.ред. код]

Вибухова справа[ред.ред. код]

При висадженні ВР: 

  • Імпульс в и б у х у (англ. explosion impulse, blast surge; нім. Explosionsimpuls) — величина, що характеризує динамічну дію вибуху, чисельно рівна добутку надлишкового тиску продуктів вибуху на тривалість його дії.
  • Імпульс с п а л а х у в а н н я — величина І. постійного струму, необхідна для вибуху електродетонатора. На практиці визначають значення мінімального та максимального імпульсу спалахування.
  • Імпульс п о ч а т к о в и й — зовнішня дія, необхідна для збудження детонації заряду ВР; забезпечується підриванням капсуля-детонатора, детонуючого шнура або, у випадку найпростіших, крупнодисперсних водовмісних ВР, детонатора проміжного. І. плавлення місточка розжарювання — найменша величина І. постійного струму, яка викликає плавлення (перегоряння) місточка електрозапальника. Див. також мінімальний ініціюючий імпульс.

Термінологічні нюанси[ред.ред. код]

В англомовній традиції, імпульс має назву «моменту» (momentum), тоді як англомовний «імпульс» (impulse) відповідає зміні імпульсу \Delta \mathbf{p}.

Дивись також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

Виноски[ред.ред. код]

  1. Aydin Sayili Ibn Sīnā and Buridan on the Motion of the Projectile // Annals of the New York Academy of Sciences. — 500 (1987) (1) С. 477–482. DOI:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37219.x.