Степеневий ряд розв'язку диференціального рівняння

Метод степеневого ряду використовується для пошуку розв'язку у вигляді степеневого ряду диференціального рівняння. В загальному, цей підхід розглядає степеневий ряд з невідомими коефіцієнтами і підставляє його в диференціальне рівняння, щоб знайти рекурентне співвідношення для коефіцієнтів.

Метод

Розглянемо лінійне диференціальне рівняння другого порядку

$a_{2}(z)f''(z)+a_{1}(z)f'(z)+a_{0}(z)f(z)=0.\;\!$

Припустимо, що a₂ не нуль для всіх z. Тоді ми можемо поділити і отримати

$f''+{a_{1}(z) \over a_{2}(z)}f'+{a_{0}(z) \over a_{2}(z)}f=0.$

Припустимо також, що a₁/a₂ і a₀/a₂ — це аналітичні функції.

Метод степеневого ряду потребує побудови степеневого ряду розв'язку

$f=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}.$

Якщо a₂ обертається в нуль для деякого z, тоді можна викоритсати метод Фробеніуса, видозміна цього методу, для знаходження розв'язку поблизу сингулярностей. Метод також працює для рівнянь більш високого порядку або систем.

Приклад використання

Давайте розглянемо Ермітове диференціальне рівняння,

$f''-2zf'+\lambda f=0;\;\lambda =1$

Ми можемо спробувати побудувати ряд розв'язку

$f=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}$

$f'=\sum _{k=1}^{\infty }kA_{k}z^{k-1}$

$f''=\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)A_{k}z^{k-2}$

Підставляючи це в диференціальне рівняння

${\begin{aligned}&{}\quad \sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)A_{k}z^{k-2}-2z\sum _{k=1}^{\infty }kA_{k}z^{k-1}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}=0\\&=\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)A_{k}z^{k-2}-\sum _{k=1}^{\infty }2kA_{k}z^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}\end{aligned}}$

Зсуваючи перший доданок

${\begin{aligned}&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+2)(k+1)A_{k+2}z^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }2kA_{k}z^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k}\\&=2A_{2}+\sum _{k=1}^{\infty }(k+2)(k+1)A_{k+2}z^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }2kA_{k}z^{k}+A_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }A_{k}z^{k}\\&=2A_{2}+A_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+2)(k+1)A_{k+2}+(-2k+1)A_{k}\right)z^{k}\end{aligned}}$

Якщо цей ряд є розв'язком, тоді всі ці коецфіцієнти дорівнюють нулю, отже для k=0 і k>0:

$(k+2)(k+1)A_{k+2}+(-2k+1)A_{k}=0\;\!$

З цього ми можемо отримати рекурентне співвідношення для A_k+2.

$(k+2)(k+1)A_{k+2}=-(-2k+1)A_{k}\;\!$

$A_{k+2}={(2k-1) \over (k+2)(k+1)}A_{k}\;\!$

Тепер маємо

$A_{2}={-1 \over (2)(1)}A_{0}={-1 \over 2}A_{0},\,A_{3}={1 \over (3)(2)}A_{1}={1 \over 6}A_{1}$

Ми можемо знайти A₀ і A₁ якщо нам задані початкові умови, тобто якщо ми маємо задачу Коші.

Отже, маємо

${\begin{aligned}A_{4}&={1 \over 4}A_{2}=\left({1 \over 4}\right)\left({-1 \over 2}\right)A_{0}={-1 \over 8}A_{0}\\[8pt]A_{5}&={1 \over 4}A_{3}=\left({1 \over 4}\right)\left({1 \over 6}\right)A_{1}={1 \over 24}A_{1}\\[8pt]A_{6}&={7 \over 30}A_{4}=\left({7 \over 30}\right)\left({-1 \over 8}\right)A_{0}={-7 \over 240}A_{0}\\[8pt]A_{7}&={3 \over 14}A_{5}=\left({3 \over 14}\right)\left({1 \over 24}\right)A_{1}={1 \over 112}A_{1}\end{aligned}}$

і ряд розв'язку такий

${\begin{aligned}f&=A_{0}z^{0}+A_{1}z^{1}+A_{2}z^{2}+A_{3}z^{3}+A_{4}z^{4}+A_{5}z^{5}+A_{6}z^{6}+A_{7}z^{7}+\cdots \\[8pt]&=A_{0}z^{0}+A_{1}z^{1}+{-1 \over 2}A_{0}z^{2}+{1 \over 6}A_{1}z^{3}+{-1 \over 8}A_{0}z^{4}+{1 \over 24}A_{1}z^{5}+{-7 \over 240}A_{0}z^{6}+{1 \over 112}A_{1}z^{7}+\cdots \\[8pt]&=A_{0}z^{0}+{-1 \over 2}A_{0}z^{2}+{-1 \over 8}A_{0}z^{4}+{-7 \over 240}A_{0}z^{6}+A_{1}z+{1 \over 6}A_{1}z^{3}+{1 \over 24}A_{1}z^{5}+{1 \over 112}A_{1}z^{7}+\cdots \end{aligned}}$

ми можемо розбити у суму двох лінійно незалежних рядів:

$f=A_{0}\left(1+{-1 \over 2}z^{2}+{-1 \over 8}z^{4}+{-7 \over 240}z^{6}+\cdots \right)+A_{1}\left(z+{1 \over 6}z^{3}+{1 \over 24}z^{5}+{1 \over 112}z^{7}+\cdots \right)$

які можна спростити за допомогою гіпергеометричного ряду.