Стереотипний простір

У функціональному аналізі та пов'язаних галузях математики стереотипні простори є класом топологічних векторних просторів, що виділяється деякою спеціальною умовою рефлексивності. Цей клас має серією чудових властивостей, зокрема, він досить широкий (наприклад, містить всі простори Фреше, і тому все банахові простори), він складається з просторів, підпорядкованих певній умові повноти, і утворює замкнуту моноїдальную категорію зі стандартними аналітичними засобами побудови нових просторів, такими як перехід до замкнутого підпростору, фактор-простором, проєктивній і ін'єктивній границі, простору операторів, тензорним добуткам тощо.

Категорія стереотипних просторів

Клас Ste стереотипних просторів утворює категорію з лінійними неперервними відображеннями в якості морфізмів і має такі властивості:

• Ste — предабелева категорія;
• Ste — повна і коповна категорія;
• Ste — автодуальна категорія відносно функтора $X\mapsto X^{\star }$ переходу до спряженого простору;
• Ste — категорія з вузловим розкладом: будь-який морфізм $\varphi :X\to Y$ має розклад $\varphi =\sigma \circ \beta \circ \pi$, у якому $\pi$ — строгий епіморфізм, $\beta$ — біморфізм, а $\sigma$ — строгий мономорфізм.

Для будь-яких двох стереотипних просторів $X$ и $Y$ стереотипний простір операторів $Y\oslash X$ з $X$ в $Y$ означається як псевдонасичення простору ${\text{L}}(X,Y)$ всіх лінійних неперервних відображень $\varphi :X\to Y$, наділеного топологією рівномірної збіжності на цілком обмежених множинах. Простір $Y\oslash X$ стереотипний. З його допомогою означаються два природних тензорних добутки в Ste:

$X\circledast Y:=(Y^{\star }\oslash X)^{\star },$

$X\odot Y:=Y\oslash X^{\star }.$

Теорема. В категорії Ste виконуються наступні природні тотожності::

$\mathbb {C} \circledast X\cong X\cong X\circledast \mathbb {C} ,$

$\mathbb {C} \odot X\cong X\cong X\odot \mathbb {C} ,$

$X\circledast Y\cong Y\circledast X,$

$X\odot Y\cong Y\odot X,$

$(X\circledast Y)\circledast Z\cong X\circledast (Y\circledast Z),$

$(X\odot Y)\odot Z\cong X\odot (Y\odot Z),$

$(X\circledast Y)^{\star }\cong Y^{\star }\odot X^{\star },$

$(X\odot Y)^{\star }\cong Y^{\star }\circledast X^{\star },$

$X\oslash Y\cong Y^{\star }\oslash X^{\star },$

$X\oslash (Y\circledast Z)\cong (X\oslash Y)\oslash Z,$

$(X\odot Y)\oslash Z\cong X\odot (Y\oslash Z)$

Зокрема, Ste — симетрична моноїдальна категорія щодо біфунктора $\odot$, симетрична замкнута моноїдальна категорія щодо біфунктора $\circledast$ і внутрішнього hom-функтора $\oslash$, і *-автономна категорія:

$X^{\star }\oslash (Y\circledast Z)\cong (X\circledast Y)^{\star }\oslash Z,$

Ядро і коядро в категорії Ste

Оскільки Ste — предабелева категорія, всякий морфізм $\varphi :X\to Y$ в ній має ядро, коядро, образ і кообраз. Ці об'єкти задовольняють наступним природним тотожностям:

$({\text{ker}}\varphi )^{\star }={\text{coker}}(\varphi ^{\star }),\qquad ({\text{coker}}\varphi )^{\star }={\text{ker}}(\varphi ^{\star }),$

$({\text{im}}\varphi )^{\star }={\text{coim}}(\varphi ^{\star }),\qquad ({\text{coim}}\varphi )^{\star }={\text{im}}(\varphi ^{\star }),$

$({\text{Ker}}\varphi )^{\perp \vartriangle }={\text{Im}}(\varphi ^{\star }),\qquad ({\text{Im}}\varphi )^{\perp \vartriangle }={\text{Ker}}(\varphi ^{\star }),$

${\text{Ker}}\varphi =({\text{Im}}(\varphi ^{\star }))^{\perp \vartriangle },\qquad {\text{Im}}\varphi =({\text{Ker}}(\varphi ^{\star }))^{\perp \vartriangle }.$

Прямі та зворотні границі в категорії Ste

Справедливі наступні природні тотожності:

${\Big (}\bigoplus _{i\in I}X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \prod _{i\in I}X_{i}^{\star }$

${\Big (}\prod _{i\in I}X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \bigoplus _{i\in I}X_{i}^{\star }$

$Y\oslash {\Big (}\bigoplus _{i\in I}X_{i}{\Big )}\cong \prod _{i\in I}(Y\oslash X_{i})$

${\Big (}\prod _{j\in J}Y_{j}{\Big )}\oslash X\cong \prod _{j\in J}(Y_{j}\oslash X)$

${\Big (}\bigoplus _{i\in I}X_{i}{\Big )}\circledast {\Big (}\bigoplus _{j\in J}Y_{j}{\Big )}\cong \bigoplus _{i\in I,j\in J}(X_{i}\circledast Y_{j})$

${\Big (}\prod _{i\in I}X_{i}{\Big )}\odot {\Big (}\prod _{j\in J}Y_{j}{\Big )}\cong \prod _{i\in I,j\in J}(X_{i}\odot Y_{j})$

${\Big (}\lim _{i\to \infty }X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \lim _{\infty \gets i}X_{i}^{\star }$

${\Big (}\lim _{\infty \gets i}X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \lim _{i\to \infty }X_{i}^{\star }$

$Y\oslash {\Big (}\lim _{i\to \infty }X_{i}{\Big )}\cong \lim _{\infty \gets i}(Y\oslash X_{i})$

${\Big (}\lim _{\infty \gets j}Y_{j}{\Big )}\oslash X\cong \lim _{\infty \gets j}(Y_{j}\oslash X)$

${\Big (}\lim _{i\to \infty }X_{i}{\Big )}\circledast {\Big (}\lim _{j\to \infty }Y_{j}{\Big )}\cong \lim _{i,j\to \infty }(X_{i}\circledast Y_{j})$

${\Big (}\lim _{\infty \gets i}X_{i}{\Big )}\odot {\Big (}\lim _{\infty \gets j}Y_{j}{\Big )}\cong \lim _{\infty \gets i,j}(X_{i}\odot Y_{j})$

(тут $\lim _{i\to \infty }$ — пряма границя а $\lim _{\infty \gets i}$ — обернена границя в категорії Ste).

Перетворення Гротендика

Якщо $X$ і $Y$ — стереотипні простори, то для будь-яких елементів $x\in X$ і $y\in Y$ формула

$(x\circledast y)(\varphi )=\varphi (y)(x),\qquad \varphi \in X^{\star }\oslash Y$

визначає елементарний тензор $x\circledast y\in X\circledast Y=(X^{\star }\oslash Y)^{\star }$, а формула

$(x\odot y)(f)=f(x)\cdot y,\qquad f\in X^{\star }$ — елементарний тензор $x\odot y\in X\odot Y=Y\oslash X^{\star }$

Теорема. Для будь-яких стереотипних просторів $X$ і $Y$ існує єдине лінійне неперервне відображення $\Gamma _{X,Y}:X\circledast Y\to X\odot Y$, що переводить елементарні тензори $x\circledast y$ в елементарні тензори $x\odot y$:

$\Gamma _{X,Y}(x\circledast y)=x\odot y,\qquad x\in X,\ y\in Y.$

Сімейство відображень $\Gamma _{X,Y}:X\circledast Y\to X\odot Y$ визначає природне перетворення біфунктора $\circledast$ в біфунктор $\odot$.

Відображення $\Gamma _{X,Y}$ називається перетворенням Гротендика.

Джерела

• Шефер, Х. (1971). Топологические векторные пространства. Москва: Мир.
• Робертсон А.П., Робертсон, В.Дж. (1967). Топологические векторные пространства. Москва: Мир.
• Smith, M.F. (1952). [https://www.jstor.org/stable/1969798 The Pontrjagin duality theorem in linear spaces]. Annals of Mathematics. 56 (2): 248—253. {{cite journal}}: Проігноровано невідомий параметр |name= (довідка)
• Brudovski, B.S. (1967). On k- and c-reflexivity of locally convex vector spaces. Lithuanian Mathematical Journal. 7 (1): 17—21.
• Waterhouse, W.C. (1968). Dual groups of vector spaces. Pac. J. Math. 26 (1): 193—196.
• Brauner, K. (1973). Duals of Frechet spaces and a generalization of the Banach-Dieudonne theorem. Duke Math. Jour. 40 (4): 845—855.
• Акбаров, С.С. (1995). Двойственность Понтрягина в теории топологических векторных пространств. Математические заметки. 57 (3): 463—466. doi:10.1007/BF02303980.
• Akbarov, S.S. (2003). Pontryagin duality in the theory of topological vector spaces and in topological algebra. Journal of Mathematical Sciences. 113 (2): 179—349.
• Акбаров, С.С. (2008). Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы (PDF). Фундаментальная и прикладная математика. 14 (1): 3—178. arXiv:0806.3205.
• Akbarov, S.S. (2016). Envelopes and refinements in categories, with applications to functional analysis. Dissertationes Mathematicae. 513: 1—188. arXiv:1110.2013.
• Akbarov, S.S.; Shavgulidze, E.T. (2003). On two classes of spaces reflexive in the sense of Pontryagin. Mat. Sbornik. 194 (10): 3—26.
• Акбаров, С.С. (2017). Непрерывные и гладкие оболочки топологических алгебр. Часть 1. Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. 129: 3—133. arXiv:1303.2424v10. doi:10.1007/s10958-017-3599-6.
• Акбаров, С.С. (2017). Непрерывные и гладкие оболочки топологических алгебр. Часть 2. Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. 130: 3—112. arXiv:1303.2424v10. doi:10.1007/s10958-017-3600-4.
• Kuznetsova, J. (2013). A duality for Moore groups. Journal of Operator Theory. 69 (2): 101—130.
• Akbarov, S.S. (2005). Pontryagin duality and topological algebras. Banach Center Publications. 67: 55—71.
• Szankowski, A. (1981). B(H) does not have the approximation property. Act. Math. 147: 147:89-108.