Фактор-простір
Фактор-простір[1] — простір класів еквівалентності топологічного простору за заданим відношенням еквівалентності.
Якщо на множині введено відношення еквівалентності ~, тоді множина всіх класів еквівалентності називається фактор--множиною і позначається . Розбиття множини на класи еквівалентних елементів називається факторизацією.
В лінійній алгебрі фактор-простір векторного простору V по підпростору N є векторний простір отриманий «стисненням» N в нуль. Отриманий простір позначається V/N.
Факторизацію множини розумно застосовувати для отримання нормованих просторів із напівнормованих, просторів зі скалярним добутком із просторів з майже скалярним добутком тощо. Для цього вводиться відповідно норма класу, що рівна нормі довільного його елементу, і скалярний добуток класів як скалярний добуток довільних елементів класів. У свою чергу співвідношення еквівалентностей вводиться таким чином (наприклад для утворення нормованого фактор-простору): вводиться підмножина початкового напівнормованого простору, що складається з елементів з нульовою напівнормою (до речі, воно лінійне, тобто є підпростором) і вважається, що два елементи еквівалентні, якщо різниця їх належить цьому самому підпростору.
Якщо для факторизації лінійного простору вводитися деякий його підпростір і вважається, що якщо різниця двох елементів простору належить цьому підпростору, то ці елементи еквівалентні, то фактор-множина є лінійним простором і називається фактор-простором.
- Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)
- Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. — 2025. — 248 с.(укр.)
|
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |