Тензорний добуток

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Тензорний добуток — операція над лінійними просторами, а також над елементами (векторами, матрицями, операторами, тензорами тощо) просторів, що перемножуються.

Тензорний добуток лінійних просторів і є лінійний простір, що позначається , для елементів і , їх тензорний добуток лежить у просторі .

Позначення тензорного добутку виникло аналогічно позначенню декартового добутку множин.

Тензорний добуток векторних просторів[ред.ред. код]

Скінченновимірні простори[ред.ред. код]

Нехай і  — скінченновимірні векторні простори над полем ,  — базис в ,  — базис в . Тензорним добутком просторів і будемо називати векторний простір, породжений елементами , що називаються тензорними добутками базисних векторів. Тензорний добуток довільних векторів можна визначати, вважаючи операцію білінійною:

При цьому тензорний добуток довільних векторів і виражається як лінійна комбінація базисних векторів . Елементи у , що представляються у вигляді , називаються розкладними.

Хоча тензорних добуток просторів визначається через набір базисів, його геометричні властивості не залежать від цього вибору.

Функторіальність[ред.ред. код]

Тензорний добуток  — це в деякому сенсі найзагальніший простір, в який можна білінійно відобразити вихідні простори. А саме, для будь якого іншого простору і білінійного відображення існує єдиний гомоморфізм такий, що

Зокрема, звідси слідує, що тензорний добуток не залежить від вибору базисів в і , оскільки всі простори, які при цьому отримуються виявляються канонічно ізоморфні.

Таким чином, довільне білінійне відображення може бути визначене як лінійне відображення , при чому достатньо задати його лише на добутку базисних векторів.

Простори і є канонічно ізоморфними.

Часткові випадки[ред.ред. код]

Тензорний добуток двох векторів[ред.ред. код]

(Матричний) добуток вектора-стовпчика справа на вектор-рядок дає їх тензорний добуток:

або, якщо користуватись верхніми і нижніми індексами (по повторюваних індексах мається на увазі сумування):

Якщо ж не прив'язуватись до матричної форми запису і матричних операцій, то, як і для тензорів більш високого рангу, прямий добуток буде являти тензор більш високого рангу (для добутку векторів — другого, тобто з двома значками) з компонентами, які дорівнюють добутку компонент добутку множників з відповідними індексами:

Добуток двох векторів називається також діадним, а результат (тензор другого рангу) — діадою.

Тензорним добутком простору векторів-стовпчиків на простір векторів-рядків є простір матриць.

Тензорний добуток операторів[ред.ред. код]

Нехай ,  — лінійні оператори. Тензорний добуток операторів визначається за правилом

Якщо матриці операторів при деякому виборі базисів мають вигляд

то матриця їх тензорного добутку запишеться в базисі, утвореному тензорним добутком базисів, у вигляді блочної матриці

Відповідна операція над матрицями називається добутком Кронекера, на честь Леопольда Кронекера.

Властивості[ред.ред. код]

Наступні алгебраїчні властивості засновані на канонічному ізоморфізмі:

  • Асоціативність
  • Комутативність
  • Лінійність
 — зовнішня сума лінійних просторів.

Варіації і узагальнення[ред.ред. код]

Нехай  — модулі над деяким комутативним кільцем . Тензорним добутком цих модулів називається модуль над , даний разом з полілінійним відображенням і володіє властивість універсальності, тобто такий, що для будь якого модуля над і будь якого полілінійного відображення існує єдиний гомоморфізм модулів такий, що діаграма

Tensor product1.gif

комутативна. Тензорний добуток позначається . Із універсальності тензорного добутку виходить, що воно визначено з точністю до ізоморфізму.

Для доведення існування тензорного добутку будь яких двох модулів над комутативним кільцем побудуємо вільний модуль , твірними якого будуть n-ки елементів модулів где . Нехай  — підмодуль , що породжується такими елементами:

Тензорний добуток визначається як фактор-модуль , клас позначається , і називається тензорним добутком елементів , a визначається як відповідне індуковане відображення.

З 1) и 2) слідує що відображення полілінійне. Доведемо, що для будь якого модулю і будь якого полілінійного відображення існує єдиний гомоморфізм модулів , такой, что .

Насправді, оскільки вільний, то існує єдине відображення , що робить діаграму

комутативною, а в силу того, що полілінійне, то на , звідси, переходячи до індукованого відображення, отримаємо, що , буде тим самим єдиним гомоморфізмом, існвання якого і потрібно було довести.

Елементи , що представляються у вигляді , називаються розкладними.

Якщо  — ізоморфізми модулів, то індукований гомоморфізм, що відповідає білінійному відображенню

що відповідє по властивості універсальності, називається тензорним добутком гомоморфізмів .

Особливо простий випадок отримується у випадку вільних модулів. Нехай  — базис модуля . Побудуємо вільний модуль над нашим кільцем, що має в якості базису елементи, що відповідають n-кам , визначивши відображення і поширючи його на по лінійності. Тоді є тензорним добутком, де є тензорним добутком елементів . Якщо число модулів і число модулів і всі їх базиси скінченні, то

.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.