Теорема Гельдера

У математиці теорема Гельдера стверджує, що гамма-функція не задовольняє жодного алгебраїчного диференціального рівняння, коефіцієнти якого є раціональними функціями. Вперше цей результат довів Отто Гельдер в 1887 році; згодом було знайдено декілька альтернативних доведень.

Теорема також узагальнюється на випадок $q$-гамма-функції.

Формулювання теореми

Для будь-якого $n\in \mathbb {N} _{0}$ не існує ненульового многочлена

$P\in \mathbb {C} [X;Y_{0},Y_{1},\dots ,Y_{n}]$

такого, що

$\forall z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}\colon \quad P{\big (}z;\Gamma (z),\Gamma '(z),\dots ,{\Gamma ^{(n)}}(z){\big )}=0,$

де $\Gamma$ — гамма-функція.

Наприклад, визначимо $P\in \mathbb {C} [X;Y_{0},Y_{1},Y_{2}]$ як

$P{\overset {\text{df}}{=}}X^{2}Y_{2}+XY_{1}+{\big (}X^{2}-\nu ^{2}{\big )}Y_{0}.$

Тоді рівняння

$P{\big (}z;f(z),f'(z),f''(z){\big )}=z^{2}f''(z)+zf'(z)+{\big (}z^{2}-\nu ^{2}{\big )}f(z)\equiv 0$

називається алгебраїчним диференціальним рівнянням, яке в даному випадку має розв'язки $f=J_{\nu }$ та $f=Y_{\nu }$ — функції Бесселя першого та другого роду відповідно; розв'язки $J_{\nu }$ та $Y_{\nu }$ називаються диференціально алгебраїчними (або алгебраїчно трансцендентними). Більшість знайомих спеціальних функцій математичної фізики є диференціально алгебраїчними. Усі алгебраїчні комбінації диференціально алгебраїчних функцій є диференціально алгебраїчними. Крім того, усі композиції диференціально алгебраїчних функцій є диференціально алгебраїчними. Теорема Гельдера просто стверджує, що гамма-функція $\Gamma$ не є диференціально алгебраїчною і, отже, гіпертрансцендентною.

Доведення

Нехай $n\in \mathbb {N} _{0}$ і існує ненульовий многочлен $P\in \mathbb {C} [X;Y_{0},Y_{1},\dots ,Y_{n}]$ такий, що

$\forall z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}:\qquad P{\big (}z;\Gamma (z),\Gamma '(z),\dots ,\Gamma ^{(n)}(z){\big )}=0.$

Оскільки ненульовий многочлен в $\mathbb {C} [X]$ ніколи не може бути нульовою функцію на будь-якій непорожній відкритій області в $\mathbb {C}$ (за основною теоремою алгебри), то не втрачаючи загальності можна вважати, що многочлен $P$ містить одночлен ненульового степеня від однієї із змінних $Y_{0},Y_{1},\dots ,Y_{n}$.

Припустимо, що $P$ має найнижчий можливий загальний степінь відносно лексикографічного впорядкування $Y_{0}<Y_{1}<\dots <Y_{n}<X$. Наприклад,

$\deg {\big (}{-}3X^{10}Y_{0}^{2}Y_{1}^{4}+iX^{2}Y_{2}{\big )}<\deg {\big (}2XY_{0}^{3}-Y_{1}^{4}{\big )},$

оскільки найбільший степінь $Y_{0}$ в будь-якому одночлені першого многочлена менший ніж у другого многочлена.

Далі зауважимо, що для всіх $z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}$,

${\begin{aligned}P\left(z+1;\Gamma (z+1),\Gamma '(z+1),\Gamma ''(z+1),\ldots ,\Gamma ^{(n)}(z+1)\right)&=P\left(z+1;z\Gamma (z),[z\Gamma (z)]',[z\Gamma (z)]'',\ldots ,[z\Gamma (z)]^{(n)}\right)\\&=P\left(z+1;z\Gamma (z),z\Gamma '(z)+\Gamma (z),z\Gamma ''(z)+2\Gamma '(z),\ldots ,z{\Gamma ^{(n)}}(z)+n{\Gamma ^{(n-1)}}(z)\right).\end{aligned}}$

Якщо визначити другий многочлен $Q\in \mathbb {C} [X;Y_{0},Y_{1},\dots ,Y_{n}]$ за допомогою перетворення

$Q{\stackrel {\text{df}}{=}}~P(X+1;XY_{0},XY_{1}+Y_{0},XY_{2}+2Y_{1},\dots ,XY_{n}+nY_{n-1}),$

то отримаємо наступне алгебраїчне диференціальне рівняння для $\Gamma$:

$\forall z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}\colon \quad Q{\big (}z;\Gamma (z),\Gamma '(z),\dots ,{\Gamma ^{(n)}}(z){\big )}\equiv 0.$

Більш того, якщо $X^{h}Y_{0}^{h_{0}}Y_{1}^{h_{1}}\cdots Y_{n}^{h_{n}}$ — одночлен найвищого степеня в многочлені $P$, то одночлен найвищого степеня в многочлені $Q$ має вигляд

$X^{h+h_{0}+h_{1}+\cdots +h_{n}}Y_{0}^{h_{0}}Y_{1}^{h_{1}}\cdots Y_{n}^{h_{n}}.$

Отже, многочлен

$Q-X^{h_{0}+h_{1}+\cdots +h_{n}}$

має менший загальний степінь ніж многочлен $P$, і оскільки він породжує алгебраїчне диференціальне рівняння для $\Gamma$, то він повинен бути нульовим многочленом за припущенням мінімальності многочлена $P$. Звідси визначаючи $R\in \mathbb {C} [X]$ як

$R{\overset {\text{df}}{=}}X^{h_{0}+h_{1}+\cdots +h_{n}},$

отримаємо

$Q=P(X+1;XY_{0},XY_{1}+Y_{0},XY_{2}+2Y_{1},\ldots ,XY_{n}+nY_{n-1})=R(X)\cdot P(X;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}).$

Тепер покладемо $X=0$ в многочлені $Q$:

$Q(0;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n})=P(1;0,Y_{0},2Y_{1},\ldots ,nY_{n-1})=R(0)\cdot P(0;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n})=0_{\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]}.$

Після заміни змінних отримуємо

$P(1;0,Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})=0_{\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1},\dots ,Y_{n}]},$

і застосовуючи принцип математичної індукції (разом із заміною змінних на кожному кроці індукції) до попереднього виразу, отримуємо

$P(X+1;XY_{0},XY_{1}+Y_{0},XY_{2}+2Y_{1},\ldots ,XY_{n}+nY_{n-1})=R(X)\cdot P(X;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n})$

Таким чином,

$\forall m\in \mathbb {N} \colon \quad P(m;0,Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})=0_{\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1},\dots ,Y_{n}]}.$

Це можливо лише, якщо $P$ ділиться на $Y_{0}$, але це суперечить припущенню про мінімальність многочлена $P$. Отже, такого многочлена $P$ не існує, і тому $\Gamma$ не є диференціально алгебраїчною. Що й треба було довести.