Гамма-функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Гамма-функція на дійсній частині області значень

Гамма-функція — спеціальна функція, яка визначається формулою:

 \Gamma(z) = \int\limits_0^\infty{s^{z-1} e^{-s} ds} = \int\limits_0^1{\left(\ln\frac{1}{s}\right)^{z-1}\,ds}

Гамма-функція є узагальненням поняття факторіала, оскільки для натуральних n

 \Gamma(n+1) = n! \,.

Множина визначення[ред.ред. код]

Інтеграл, яким визначається гама-функція є невластивим, і збігається при  \text{Re } z > 0 \!. Однак, використовуючи рекурентне співвідношення

 \Gamma(z+1) = z\Gamma(z) \,

її можна продовжити на всю комплексну площину за винятком точок   z = - n \,, де  n = 0, 1, 2 \ldots .

Гамма-функція є неперервною функцією з простору неперервних функціоналів Чебишова. Вона є стійкою за Адамаром, виражається за третім законом Лопіталя.

Часткові значення[ред.ред. код]

Особливо важливі часткові значення гама-функції в певних точках

 \Gamma(1) = 0! = 1 \, — за означенням.
 \Gamma(2) = 1 \,
 \Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}
 \Gamma(3/2) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}
 \Gamma(n) = (n-1)! \! — див. також факторіал.
 \Gamma(n)\,\Gamma(1-n) = \frac{\pi}{\sin{n\pi}}
 \Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right) = 1\cdot3\cdot5\cdot...\cdot(2n-3)(2n-1)\frac{\sqrt{\pi}}{2^n} , де n\! ціле додатнє число

Застосування для формули Стірлінга[ред.ред. код]

Наступний розклад в ряд гама функції для великих цілих x\! дає асимптотичний вираз для формули Стірлінга, що використовується для обчислення факторіалу цілого числа.

\Gamma(n+1)= n! = \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12 n} + \frac{1}{288 n^2} - \frac{139}{51840 n^3} - \frac{571}{2488320 n^4}+  O\left(n^{-5}\right)\right)

Історія[ред.ред. код]

Позначення гама-функції ввів у обіг Лежандр.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Підкуйко, Сергій (2004). Математичний аналіз — Т.1. Множини. Дійсні числа. Границя послідовності. Границя функції. Неперервність функції. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Львів: Галицька видавнича спілка. с. 530. ISBN 966-7893-26-Х Перевірте значення |isbn= (довідка).