Гамма-функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Гамма-функція на дійсній частині області значень
Гамма-функція мероморфна на всій комплексній площині

Гамма-функція (позначається великою літерою грецького алфавіту — Гамма, Γ) —є одним із способів розширення функції факторіала, до дійсних і комплексних чисел, із зсувом її аргумента[en] менше на 1. Даніель Бернуллі вивів цю функцію для n, що є додатнім цілим числом,

Хоча існують і інші подібні розширення, це конкретне визначення є самим популярним і вживаним. Гамма-функція визначена для всіх комплексних чисел, окрім не додатних цілих. Для комплексних чисел із додатною дійсною частиною, гамма-функція визначається через збіжний невласний інтеграл:

Цю інтегральну функцію за допомогою аналітичного продовження можна розширити для всіх комплексних чисел, крім недодатних цілих (де функція має прості полюси), в результаті чого отримують мероморфну функцію яку називають гамма-функцією. Вона не має нулів, тож взаємна гамма функція 1/Γ(z) є голоморфною функцією. Гамма-функція відповідає перетворенню Мелліна[en] для від'ємної показникової функції:

Гамма-функція є складовою різних функцій розподілу імовірностей, тож вона використовуються в таких областях як теорія імовірностей і статистика, а також у комбінаториці.

Мотивування[ред. | ред. код]

Гамма-функція інтерполює функцію факторіала для не цілих значень.

Гамма функцію можна розглядати як рішення наступної задачі інтерполяції:

"Необхідно знайти гладку функцію яка сполучає точки (x, y) задані відношенням y = (x − 1)! при додатних цілих значеннях змінної x."

Графік перших декількох точок факторіалів дозволяє припустити, що така крива можлива, але було б бажано знайти формулу, яка точно описує цю криву, в якій кількість операцій не залежить від розміру x. Просту формулу для факторіалу, x! = 1 × 2 × … × x, не можна застосувати напряму для не цілих значень x оскільки вона є дійсною лише коли x є натуральним числом (тобто, додатним цілим). Просто кажучи, не існує простого рішення для факторіалів; ніякі нескінченні комбінації сумування, добутку, піднесення у степінь, показникових функцій, або логарифмів, які б були здатні виразити функцію  x!; але можна знайти загальну формулу для факторіалів за допомогою таких засобів як інтеграли і границі із диференціального та інтегрального числення. Хорошим рішенням цієї задачі є гамма функція.[1]

Існує багато способів для поширення факторіалу до не цілих значень: через множину окремих точок можна провести нескінченну кількість різних кривих. Гамма-функція є одним із самих корисним вирішенням цієї задачі на практиці, оскільки вона є аналітичною функцією (крім області значень не додатних цілих).[1] Ще однією важливою особливістю цієї функції, це те що вона задовольняє рекурентному співвідношенню, що визначає аналогічну властивість функції факторіалу,

для x, що дорівнює будь-якому додатному дійсному числу. Це дозволяє множити її із будь-якою періодичною аналітичною функцією, яка матиме значення одиниці для додатних цілих, наприклад така функція як ek sin mπx.

Визначення[ред. | ред. код]

Основне визначення[ред. | ред. код]

Нотацію Γ(z) ввів Адрієн-Марі Лежандр.[1] Якщо дійсна частина комплексного числа z є додатною (Re(z) > 0), тоді інтеграл

є абсолютно збіжним, і відомий як інтеграл Ейлера другого роду (інтеграл Ейлера першого роду визначає бета-функцію).[1] Застосувавши інтегрування частинами, можна побачити, що:

Визначивши, що при тому як

Можемо розрахувати

Маємо що і

для всіх додатних цілих чисел n. Це є прикладом доведення методом математичної індукції.

Альтернативні визначення[ред. | ред. код]

Ейлерове визначення як нескінченного добутку[ред. | ред. код]

При пошуку наближення для z! для комплексного числа z, виявляється, що простіше спочатку порахувати n! для деякого великого цілого числа n, а потім використати це для апроксимації значення для (n+z)!, після чого використати рекурентне рівняння m! = m (m−1)! у зворотньому порядку n разів, для того, щоб зрештою апроксимувати z!. Крім того, ця апроксимація стає точною для границі із тим як n прямує до нескінченності.

Зокрема, для деякого цілого числа m, буде так, що

і ми хочемо, щоб та сама формула виконувалася, якщо довільне ціле m буде замінено на довільне комплексне число z

Помноживши обидві частини на z! отримаємо

Ця формула із нескінченним добутком є збіжною для всіх комплексних чисел z крім від'ємних цілих, оскільки при спробі використати рекурентне відношення m! = m (m − 1)! в зворотньому порядку до значення m = 0 призведе до ділення на нуль.

Аналогічно і гамма-функція, визначена відповідно до Ейлера як нескінченний добуток буде справедливою для всіх комплексних чисел за виключенням недодатних цілих:

При такій конструкції, гамма-функція є унікальною функцією, яка одночасно задовольняє рівнянням , для всіх комплексних чисел крім не додатних цілих, і для всіх комплексних чисел .[1]

Рівняння можна використати для однозначного розширення інтегральної формули для Γ(z) до мероморфної функції, визначеної для всіх комплексних чисел z, крім цілих, що менші або рівні нулю.[1] Саме ця розширена версія як правило називається гамма-функцією.[1]

Визначення Вейєрштрасса[ред. | ред. код]

Визначення гамма-функції, яке дав Вейєрштрасс також є дійсним для всіх комплексних чисел z, крім недодатних цілих:

де - Стала Ейлера—Маскероні.[1]

Множина визначення[ред. | ред. код]

Інтеграл, яким визначається гама-функція є невласним, і збігається при . Однак, використовуючи рекурентне співвідношення

її можна продовжити на всю комплексну площину за винятком точок , де .

Гамма-функція є неперервною функцією з простору неперервних функціоналів Чебишова. Вона є стійкою за Адамаром, виражається за третім законом Лопіталя.

Часткові значення[ред. | ред. код]

Особливо важливі часткові значення гама-функції в певних точках

 — за означенням.
 — див. також факторіал.
, де ціле додатне число

Властивості[ред. | ред. код]

Загальні[ред. | ред. код]

Важливим функціональним рівнянням для гамма-функції є Єйлерова формула відображення[en]

з якої випливає:

і Формула подвоєння Лагранжа[en]

Формула подвоєння є особливим випадком теореми про множення Лагранжа[en](див. [2], Eq. 5.5.6)

Простою, але корисною властивістю, яка випливає із визначення границі, це:

Зокрема, при z = a + bi, цей добуток дорівнює

Одним із самих відомих значень гамма-функції для нецілого аргумента є:

яке отримують, якщо задати z = 12 у формулах відображення або подвоєння, використавши рівняння для бета функції із x = y = 12, або виконавши заміну u = x у визначенні інтегралу гамма-функції, із чого в результаті отримають Гаусів інтеграл[en]. У загальному випадку, для невід'ємних цілих чисел n маємо:

де n!! позначає подвійний факторіал від n. Коли n = 0, n!! = 1.

Може здаватися, що поглянувши на формулу результат Γ(12) = π можна узагальнити для інших окремих значень Γ(r) де r є раціональним числом. Однак, ці числа не можна виразити через самих себе в рамках елементарних функцій. Було доведено, що Γ(n + r) є трансцендентним числом і алгебраїчно незалежним від π для будь-якого цілого n і будь-якого дробу із r = 16, 14, 13, 23, 34, 56.[3] У загальному випадку, для розрахунку значень гамма-функції необхідно застосовувати числову апроксимацію.

Іншою корисною границею для асимптотичного наближення є:

Похідні гамма-функції можна описати за допомогою полігамма-функції[en]. Наприклад:

Для додатного цілого числа m похідну гамма-функції можна розрахувати наступним чином (тут γ це Стала Ейлера—Маскероні):

Для Re(x) > 0 n-а похідна гамма-функції дорівнює:

Похідна функції Γ(z)

(Це можна отримати за допомогою диференціювання інтегралу для гамма-функції по змінній x, і використавши інтегральне правило Лейбніца.)

Використавши рівняння

де ζ(z) - дзета-функція Рімана, із розбиттям

зокрема маємо

Нерівності[ред. | ред. код]

Якщо обмежитися додатними цілими числами, гамма-функція є суворо логарифмічно опуклою функцією. Цю властивість можна визначити за допомогою трьох наведених еквівалентних нерівностей:

  • Для будь-яких двох додатних дійсних чисел x1 і x2, і для будь-якого t ∈ [0, 1],

Крім того, ця нерівність буде точною для t ∈ (0, 1).

  • Для будь-яких двох додатних дійсних чисел x і y при y > x,
  • Для будь-якого додатного дійсного числа x,

Останні два твердження, випливають із визначення, так само як і твердження, що , де це полігамма-функція[en] порядку 1. Аби довести логарифмічну опуклість гамма-функції достатньо спостерігати, що має ряд представлень для яких, при додатному дійсному x вона складається лише із додатних термів.

Логарифмічна опуклість і нерівність Єнсена разом означають, що для будь-яких додатних дійсних чисел and ,

Існують також обмеження відношення гамма-функцій. Найвідомішим є Нерівність Гаутсі[en], яка стверджує, що для будь-якого додатного цілого числа x і будь-якогоs ∈ (0, 1),

Формула Стірлінґа[ред. | ред. код]

Представлення гамма-функції у комплексній площині. Кожна точка забарвлена відповідно до значення аргумента . Також показано контурний графік для модуля .
3-вимірний графік абсолютних значень комплексної гамма-функції

Поведінка функції для зростаючих цілих значень змінної є простою: вона зростає досить швидко — швидше за показникову функцію. Асимптотично при , величина гамма-функції задається за допомогою формули Стірлінґа

де символ задає відношення з яким обидві сторони збігаються до 1[1] або асимптотично сходяться.

Наближення[ред. | ред. код]

Порівняння гамма-функціх (синя лінія) із факторіалом (сині точки) і наближення Стірлінга (червона лінія)

Комплексні значення гамма-функції можна обчислити чисельним способом із довільною точністю використовуючи формулу Стірлінга або наближення Ланцоса[en].

Гамма-функцію можна обрахувати із сталою точністю для Re(z) ∈ [1,2] застосувавши до інтеграла Ейлера метод інтегрування частинами. Для будь-якого додатнього числа x гамма-функцію можна записати як

Коли Re(z) ∈ [1,2] і x ≥ 1, абсолютне значення останнього інтегралу є меншим за (x + 1)ex. Якщо вибрати достатньо велике x, цей вираз може бути меншим за 2N для будь-якого бажаного значення N. Тож, за допомогою вищевказаного ряду гамма-функцію можна обрахувати до N бітів точності.

Швидкий алгоритм для розрахунку Ейлерової гамма-функції для будь-якого алгебраїчного аргументу (в тому числі раціонального) Е.А. Карацуба,[4][5][6]

Для аргументів, які є цілими кратними для 124, гамма-функцію також можна швидко розрахувати використавши ітерації для середнього арифметико-геометричного.

Застосування для формули Стірлінга[ред. | ред. код]

Наступний розклад в ряд гамма-функції для великих цілих дає асимптотичний вираз для формули Стірлінга, що використовується для обчислення факторіалу цілого числа.

Історія[ред. | ред. код]

Позначення гама-функції ввів у обіг Лежандр.

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

  • Підкуйко, Сергій (2004). Математичний аналіз — Т.1. Множини. Дійсні числа. Границя послідовності. Границя функції. Неперервність функції. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Львів: Галицька видавнича спілка. с. 530. ISBN 966-7893-26-Х Перевірте значення |isbn= (довідка). 

Примітки[ред. | ред. код]

  1. а б в г д е ж и к Davis, P. J. (1959). Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function. American Mathematical Monthly 66 (10): 849–869. doi:10.2307/2309786. Процитовано 3 December 2016. 
  2. Шаблон:Dlmf
  3. Waldschmidt, M. (2006). Transcendence of Periods: The State of the Art. Pure Appl. Math. Quart. 2 (2): 435–463. doi:10.4310/pamq.2006.v2.n2.a3. публікація знаходиться у відкритому доступі
  4. E.A. Karatsuba, Fast evaluation of transcendental functions. Probl. Inf. Transm. Vol.27, No.4, pp. 339–360 (1991).
  5. E.A. Karatsuba, On a new method for fast evaluation of transcendental functions. Russ. Math. Surv. Vol.46, No.2, pp. 246–247 (1991).
  6. E.A. Karatsuba "Fast Algorithms and the FEE Method".