Раціональна функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Раціональна функція однієї змінної — це алгебраїчний вираз, що є відношенням двох многочленів, тобто має вигляд

При цьому коефіцієнти многочленів належать деякому заздалегідь визначеному полю, наприклад, множині дійсних або комплексних чисел. Причому коефіцієнти зовсім не обов'язково мають бути раціональними числами.

Степенем раціональної функції називається максимум з степенів многочленів P та Q. Раціональні функції степеня 1 називаються перетворенням Мебіуса.

Раціональна функція визначена для всіх значень змінних, крім тих, при яких знаменник перетворюється в нуль.

Функції, які неможливо представити у вигляді відношення двох многочленів, називають ірраціональними функціями.

На раціональні функції поширюються арифметичні дії (додавання, множення, віднімання і ділення). Сукупність усіх раціональних функцій сама утворює поле, так зване поле раціональних функцій. Раціональні функції належать до ширшого класу елементарних функцій.

Так само визначаються раціональні функції кількох змінних

Властивості[ред.ред. код]

Приклади[ред.ред. код]

Приклади раціональних функцій

Раціональна функція степеня 2
Раціональна функція степеня 2:
Раціональна функція степеня 3
Раціональна функція степеня 3:
Раціональна функція не визначена при .
Раціональна функція визначена на всіх дійсних числах, але не на всіх комплексних числах. Невизначеність виникає коли x є квадратним коренем з (т.з. - уявна одиниця або ), коли виникає ділення на нуль: .
Раціональна функція , при x що прямує до нескінченності, прямує до .
Функція-константа, наприклад f(x) = π є раціональною функцією тому що константа є многочленом (виродженим). Зауваження. Функція є раціональною навіть коли f(x) є ірраціональним числом при всіх x.
Раціональна функція дорівнює 1 для всіх x крім 0, що є усувною особливою точкою.

Література[ред.ред. код]

  • Г.М. Фіхтенгольц «Курс диференціального та інтегрального числення», Т I, Москва 1966.

Дивись також[ред.ред. код]