Теорема Лакса — Мільграма — твердження у функціональному аналізі, що має широке застосування у теорії рівнянь в частинних похідних та числовому аналізі, зокрема при теоретичному обґрунтуванні методу скінченних елементів.
Нехай:
- неперервною в
![{\displaystyle \exists M>0:\quad \forall (u,v)\in {\mathcal {H}}^{2}\quad |a(u,v)|\leq M\cdot \|u\|\cdot \|v\|;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb446b4361a8d6607e53b906854f4ff5f35a0a51)
- коерцивною в
(іноді використовується термін
-еліптичність): ![{\displaystyle \exists m>0:\quad \forall u\in {\mathcal {H}}\quad a(u,u)\geq m\cdot \|u\|^{2};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce101386cdd95cab906a86885acbbd04f412899)
є неперервною лінійною формою у ![{\displaystyle {\mathcal {H}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe10b642d4afbbb76bc1ccbdc50f78997e33d7f)
Тоді існує єдиний елемент
такий що рівність
виконується для всіх
причому
.
Для довільного
відображення
— обмежений лінійний функціонал на
.
Тоді, за теоремою Ріса, існує єдиний
з
такий, що
. Будемо писати
— обмежений лінійний оператор. Справді, лінійність:
і обмеженість:
Із умови коерцивності випливає, що:
На основі цієї нерівності і лінійності випливає:
зокрема
при
Відповідно
є ін'єктивним відображенням. Також із цієї нерівності випливає, що образ оператора
є замкнутим. Справді, якщо y належить замиканню образу оператора, то існує послідовність
для якої
у нормі гільбертового простору. Тоді
є фундаментальною послідовністю і оскільки
то
теж є фундаментальною послідовністю. Із повноти гільбертового простору випливає, що
збігається до деякого
і тоді
тобто
.
Ба більше,
— сюр'єкція, бо інакше існував би елемент
з ортогонального доповнення до (замкненого) образу
Щоб знайти такий елемент потрібно взяти довільний
і знайти
що є найкращим наближенням до y на образі оператора A. Згідно теорії гільбертових просторів такий
існує і єдиний, а
є ортогональним до образу оператора A. Але тоді
протиріччя з
Нарешті, знову-ж таки з теореми Ріса,
але, завдяки бієктивності
, ми можемо знайти єдиний елемент
такий, що
, а тоді
Також згідно теореми Ріса при цьому
і також
тому
.