Теорема Ріса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Ріса (також теорема Ріса-Фреше) у функціональному аналізі стверджує, що кожен лінійний обмежений функціонал у гільбертовому просторі може бути представлений через скалярний добуток за допомогою деякого елементу.

Твердження[ред.ред. код]

Нехай маємо:

  • Гільбертів простір H
  • Лінійний обмежений функціонал у просторі

Тоді існує єдиний елемент простору такий, що для довільного виконується .

Також виконується рівність

Доведення[ред.ред. код]

ядро лінійного функціоналу є векторним підпростором .

Існування [ред.ред. код]

Якщо , достатньо взяти .

Якщо ж , тоді . Відповідно можна знайти елемент ,

, позначимо .

Оскільки очевидно маємо за означенням b, що . З лінійності скалярного добутку отримуємо:

Звідси .

Нарешті

де позначено .

Єдиність [ред.ред. код]

Припустимо і елементи Що задовольняють .

Для всіх справджується зокрема звідки й отримується рівність .

Рівність норм[ред.ред. код]

Для доведення спершу з нерівності Коші-Буняковського маємо: . Звідси згідно з визначенням норми функціоналу маємо: З іншого боку звідки . Поєднуючи дві нерівності одержуємо

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]