Теорема Ріса (також теорема Ріса-Фреше) у функціональному аналізі стверджує, що кожен лінійний обмежений функціонал у гільбертовому просторі може бути представлений через скалярний добуток за допомогою деякого елементу.
Нехай маємо:
- Гільбертів простір H
- Лінійний обмежений функціонал
у просторі ![{\displaystyle H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)
Тоді існує єдиний елемент
простору
такий, що для довільного
виконується
.
Також виконується рівність
![{\displaystyle \|y\|=\|f\|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9592411c467f471f539ffb7387fa293d5ab00fb5)
ядро лінійного функціоналу є векторним підпростором
.
Якщо
, достатньо взяти
.
Якщо ж
, тоді
.
Відповідно можна знайти елемент
,
, позначимо
.
Оскільки очевидно
маємо за означенням b, що
.
З лінійності скалярного добутку отримуємо:
![{\displaystyle \left\langle b,x-{f(x) \over f(b)}b\right\rangle =0=\langle b,x\rangle -{f(x) \over f(b)}\|b\|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0bf303adf0928e6c289950edaae35cc0f00897a)
Звідси
.
Нарешті
![{\displaystyle f(x)=\langle y,x\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59a78d6e02d6fe724e0c7241044f855442c0ccfc)
де позначено
.
Припустимо
і
елементи
Що задовольняють
.
Для всіх
справджується
зокрема
звідки й отримується рівність
.
Для доведення
спершу з нерівності Коші-Буняковського маємо:
. Звідси згідно з визначенням норми функціоналу маємо:
З іншого боку
звідки
. Поєднуючи дві нерівності одержуємо