Теорема Паулі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Паулі про зв'язок спіну зі статистикою - теорема квантової теорії поля, яка пов'язує спін вільних одночастинкових станів зі статистикою (Бозе-Ейнштейна чи Фермі-Дірака), яка їх описує. Теорема була сформульована та доведена Вольфгангом Паулі у 1940-му році у статті "Зв'язок між спіном і статистикою"[1].

Формулювання теореми[ред.ред. код]

Теорема Паулі зазвичай формулюється наступним чином:

Нехай простір станів фізичної системи має додатно визначену метрику, і кожному стану відповідає додатня енергія. Тоді у локальній лоренц-інваріантній теорії поля, в якій виконуються ці дві умови, поля, які описують частинки із цілим спіном, локально комутують між собою та із спінорними полями, а поля, що описують частинки із напівцілим спіном, локально антикомутують.

Доведення теореми [2][ред.ред. код]

1. Отже, нехай - довільні точки простору Мінковського, розділені простороподібним інтервалом . За час збурення, яке вийшло з точки та розповсюджується із швидкістю в , пройде відстань меншу, ніж . Тому точка не зазнає дії сигналу, який вийшов із точки , а отже, вимірювання у точках не вплинуть один на одного. Звідси випливає, що оператори, які відповідають фізичним величинам при , повинні комутувати один із одними:

.

Як правило, усі оператори квантової теорії поля, що відповідають основним фізичним величинам, є деякими функціями по полям, точніше - поліномами виду

.

Тут побудований із лоренц-коваріантних об'єктів - тензору Леві-Чивіта, метричного тензора, матриць Паулі, гамма-матриць, метрики спінорів і т.д., - набори спінорних індексів.

Це означає, що для виконання необхідно накласти одну з умов

,

де . Аналогічні рівності також повинні бути справедливі для всіх можливих (анти)комутаторів полів (два поля ермітово спряжені, два неспряжені). До аналогічного результату можна прийти, вимагаючи від S-оператору лоренц-інваріантності.

Масивним полем спіну є об'єкт

,

де мітка пробігає значень, а коефіцієнтні функції пов'язані співвідношеннями

,

якщо поле є полем цілого спіну, чи напівцілого спіну із відсутністю інваріантності відносно просторових інверсій, і

,

якщо теорія вільного поля напівціого є інваріантною відносно просторових інверсій.

Безмасовим полем спіральності є вираз

.

Безмасовим полем спіральності є вираз

.

2. Нехай існує вакуумний стан, оператори народження та знищення утворюють фоківський базис та задовольняють одному із типів співвідношень - комутаторним чи антикомутаторним рівностям

,
,

причому для одного поля мають статистику одного типу (комутаційну чи антикомутаційну).

Із цих співвідношень одразу слідує, що

.

3. Для випадку теорій цілого спіну та теорій напівцілого спіну, неінваріантних відносно операції просторової інверсії, (анти)комутатор полів має вигляд

.

Тут - поліном по похідним відповідно лише парних та непарних степенів для цілого та напівцілого спіну.

Для просторовоподібних інтервалів , тому набуває вигляду

.

У результаті при маємо

.

Звідси очевидно, що у випадку цілого спіну для рівності нулю виразу треба вибирати комутатор, а у випадку напівцілого - антикомутатор.

3. Для випадку теорій напівцілого спіну, інваріантних відносно операції просторової інверсії, (анти)комутатор має вигляд

.

Тут поліном має доданки, що складаються із добутків парних кількостей похідних та гамма-матриць, і доданки, що складаються із добутків непарних кількостей похідних та гамма-матриць. Повторюючи міркування п. 3, обираємо та знак, що відповідає антикомутатору.

Теорема доведена повністю.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

  1. W. Pauli "The Connection Between Spin and Statistics", Phys. Rev. 58, 716–722 (1940), pdf
  2. Теорема Паулі