Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Матриці Паулі — три
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
матриці — оператори спіну для часток зі спіном 1/2.
σ
1
=
σ
x
=
(
0
1
1
0
)
{\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}
σ
2
=
σ
y
=
(
0
−
i
i
0
)
{\displaystyle \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}
σ
3
=
σ
z
=
(
1
0
0
−
1
)
{\displaystyle \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}
Матриці Паулі — ермітові оператори .
Квадрат будь-якої із них є одиничною матрицею .
Слід будь-якої із матриць Паулі дорівнює нулю.
Комутаційні співвідношення [ ред. | ред. код ]
Комутаційні співвідношення для матриць Паулі схожі на комутаційні співвідношення для оператора кутового моменту
[
σ
x
,
σ
y
]
=
2
i
σ
z
{\displaystyle [\sigma _{x},\sigma _{y}]=2i\sigma _{z}}
[
σ
y
,
σ
z
]
=
2
i
σ
x
{\displaystyle [\sigma _{y},\sigma _{z}]=2i\sigma _{x}}
[
σ
z
,
σ
x
]
=
2
i
σ
y
{\displaystyle [\sigma _{z},\sigma _{x}]=2i\sigma _{y}}
Власні значення і власні вектори [ ред. | ред. код ]
Найважливішим для практичного застосування є оператор
σ
z
{\displaystyle \sigma _{z}}
. Його власні значення
±
1
{\displaystyle \pm 1}
, а власні вектори
(
1
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}
та
(
0
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}
.
Матриця
σ
^
+
=
1
2
(
σ
^
x
+
i
σ
^
y
)
{\displaystyle {\hat {\sigma }}_{+}={\frac {1}{2}}({\hat {\sigma }}_{x}+i{\hat {\sigma }}_{y})}
має ту властивість, що
σ
^
+
(
1
0
)
=
0
,
σ
^
+
(
0
1
)
=
(
1
0
)
{\displaystyle {\hat {\sigma }}_{+}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=0,\qquad {\hat {\sigma }}_{+}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}
тобто вона перетворює один власний вектор у інший. Аналогічно, матриця
σ
^
−
=
1
2
(
σ
^
x
−
i
σ
^
y
)
{\displaystyle {\hat {\sigma }}_{-}={\frac {1}{2}}({\hat {\sigma }}_{x}-i{\hat {\sigma }}_{y})}
має ту властивість, що
σ
^
−
(
0
1
)
=
0
,
σ
^
−
(
1
0
)
=
(
0
1
)
{\displaystyle {\hat {\sigma }}_{-}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=0,\qquad {\hat {\sigma }}_{-}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}
Фізичний сенс цих операторів — перевертання спіна.
Внесок у гамільтоніан [ ред. | ред. код ]
Із врахуванням взаємодії квантовомеханічної частинки зі спіном 1/2 із магнітним полем гамільтоніан для частинки
записується у вигляді
H
^
=
H
^
0
+
g
μ
B
σ
^
⋅
B
{\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+g\mu _{B}{\hat {\mathbf {\sigma } }}\cdot \mathbf {B} }
,
де g — g-фактор Ланде ,
μ
B
{\displaystyle \mu _{B}}
— магнетон Бора ,
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
— вектор магнітної індукції ,
H
^
0
{\displaystyle {\hat {H}}_{0}}
— та частина гамільтоніана, яка не залежить від магнітного поля.
Якщо вибрати систему координат таким чином, щоб магнітне поле було направлене вздовж осі z, то гамільтоніан матиме вигляд
H
^
=
H
^
0
+
g
μ
B
σ
z
^
B
{\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+g\mu _{B}{\hat {\sigma _{z}}}B}
.
У такому випадку гамільтоніан частинки комутує із оператором
σ
z
{\displaystyle \sigma _{z}}
і матиме з ним спільні власні вектори . Тоді в магнітному полі енергетичні рівні частинки зі спіном 1/2 розщеплюватимуться на два з енергією
E
n
0
±
g
μ
B
H
{\displaystyle E_{n0}\pm g\mu _{B}H}
, де
E
n
0
{\displaystyle E_{n0}}
— це вклад у енергію, зумовлений іншими, не залежними від магнітного поля, взаємодіями.