Матриці Паулі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Матриці Паулі - три  2 \times 2 матриці - оператори спіну для часток зі спіном 1/2.


\sigma_1 = \sigma_x =
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}

\sigma_2 = \sigma_y =
\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix}

\sigma_3 = \sigma_z =
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}

Властивості[ред.ред. код]

Матриці Паулі - ермітові оператори.

Квадрат будь-якої із них є одиничною матрицею.

Слід будь-якої із матриць Паулі дорівнює нулю.

Комутаційні співвідношення[ред.ред. код]

Комутаційні співвідношення для матриць Паулі схожі на комутаційні співвідношення для оператора кутового моменту


 [\sigma_x, \sigma_y ] = 2 i \sigma_z

 [\sigma_y, \sigma_z ] = 2 i \sigma_x

 [\sigma_z, \sigma_x ] = 2 i \sigma_y

Власні значення і власні вектори[ред.ред. код]

Найважливішим для практичного застосування є оператор  \sigma_z. Його власні значення  \pm 1 , а власні вектори


\begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}
та 
\begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix}
.

Матриця

 \hat{\sigma}_+ = \frac{1}{2}(\hat{\sigma}_x + i \hat{\sigma}_y)

має ту властивість, що

 \hat{\sigma}_+  \begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix} = 0, \qquad \hat{\sigma}_+ \begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}

тобто вона перетворює один власний вектор у інший. Аналогічно, матриця

 \hat{\sigma}_- = \frac{1}{2}(\hat{\sigma}_x - i \hat{\sigma}_y)

має ту властивість, що

 \hat{\sigma}_-  \begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix} = 0, \qquad \hat{\sigma}_- \begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix}

Фізичний сенс цих операторів - перевертання спіна.

Внесок у гамільтоніан[ред.ред. код]

Із врахуванням взаємодії квантовомеханічної частинки зі спіном 1/2 із магнітним полем гамільтоніан для частинки записується у вигляді

 \hat{H} = \hat{H}_0 +g\mu_B \hat{\mathbf{\sigma}}\cdot\mathbf{B} ,

де g - g-фактор Ланде,  \mu_B - магнетон Бора,  \mathbf{B} - вектор магнітної індукції,  \hat{H}_0 - та частина гамільтоніана, яка не залежить від магнітного поля.

Якщо вибрати систему координат таким чином, щоб магнітне поле було направлене вздовж осі z, то гамільтоніан матиме вигляд

 \hat{H} = \hat{H}_0 +g\mu_B \hat{\sigma_z} B .

У такому випадку гамільтоніан частинки комутує із оператором  \sigma_z і матиме з ним спільні власні вектори. Тоді в магнітному полі енергетичні рівні частинки зі спіном 1/2 розщеплюватимуться на два з енергією  E_{n0} \pm g \mu_B H , де  E_{n0} - це вклад у енергію, зумовлений іншими, не залежними від магнітного поля, взаємодіями.